Изменения

Перейти к: навигация, поиск
Нет описания правки
* <tex>\sqrt{D}</tex> представимо в виде цепной дроби из <tex>a_0</tex> и периода.
* <tex>\sqrt{D}=[\sqrt{D}]+\sqrt{D}-a_0</tex> значит <tex>\sqrt{D}=\langle a_0, \overline{a_1,\cdots, a_n, 2a_0} \rangle</tex>.
 
{{Теорема
|author=Лагранж
|statement=
ЧислоПериод цепной дроби <tex>\sqrt{d}</tex> состоит из симметричной части <tex>a_1,\alphacdots, a_n</tex> представимо в виде периодической цепной дроби тогда и только тогда, когда <tex>\alpha2a_0</tex> квадратичная иррациональность.
|proof=
Рассмотрим <tex>\Rightarrowalpha</tex> - приведённая и <tex>\beta=-\frac{1}{\overline{\alpha}}</tex>. Так как <tex>\beta_{n+1}=a_n+\frac{1}{\beta_n}</tex>, то <tex>\beta=<a_n,\cdots, a_0,\cdots</tex>.
Рассмотрим <tex>\alpha=\langle a_0,a_1,\cdots,\overlinesqrt{a_k,\cdots a_nd}+[\rangle</tex>, тогда введём <tex>\alpha_k=\langle \overlinesqrt{a_k,\cdots, a_nd}\rangle]</tex>- приведённая. Тогда Рассмотрим <tex>\alpha_kalpha_1=\langle a_k,\cdots, a_n, \overlinefrac{\alpha_k1} {\rangle</tex>. <tex>alpha-[\alpha_kalpha]}=\frac{P_n'\alpha_k+P_{n-1}'}{Q_n'\alpha_k+Q_sqrt{nd}-1}'}[\Rightarrow Q_n'\alpha_k^2+(P_n'+Q_sqrt{n-1d}')\alpha_k+P_{n-1]}'=0\beta</tex> Поэтому . Отсюда <tex>\alpha_k</tex> квадратичная иррациональностьlangle a_1, a_2,\cdots, так как иррационально и удовлетворяет уравнению с целыми коэффициентами. Аналогично получимa_n, что <tex>\alpha cdots\rangle= \fraclangle a_n, a_{P_k\alpha_k+P_{kn-1}}{Q_k,\cdots\alpha_k+Q_{k-1}}rangle</tex>. Поэтому и <tex>\alpha</tex> квадратичная иррациональностьИз единственности представления в цепную дробь следует утверждение теоремы.}}<tex>\Leftarrow</tex>.[[Категория:Теория чисел]]
Пусть <tex>a\alpha^2+b\alpha+c=0</tex>. Разложим <tex>\alpha</tex> в цепную дробь и для <tex>\all k[[Категория:\alpha=\frac{P_k\alpha_k+P_{k-1}}{Q_k\alpha_k+Q_{k-1}}</tex>}}В разработке]]
419
правок

Навигация