Изменения

'''Black-box Complexity'''<ref name="bbox">[http://dl.acm.org/citation.cfm?doid=2001576.2001851 Doerr B., Kötzing T., Winzen C. Too fast unbiased black-box algorithms]</ref> &mdash; попытка построить теорию сложности для эволюционных алгоритмов. Вкратце, ''black-box'' сложность алгоритма &mdash; количество вычислений ''fitness''-функции, необходимое для получения решения. Такое определение позволяет получить не реалистично низкие оценки ''black-box'' сложности, например, полиномиальную сложность для [[Примеры_NP-полных_языков._Теорема_Кука|<tex>\mathrm{NP}</tex>-полной]] задачи поиска максимальной клики <ref>[http://en.wikipedia.org/wiki/Clique_problem Clique problem]</ref>.

Рассматривается класс алгоритмов оптимизации, которые получают информацию о решаемой задаче через вычисление ''fitness''-функции возможных решений. Заданная ''fitness''-функция вычисляется ''ораклом'', или дается как ''black-box''. Алгоритм может запросить у ''оракла'' значение функции для любого решения, однако более больше никакой информации о решении получить не может.

|statement=Предположим, что Пусть для задачи <tex>P</tex> существует ''black-box'' алгоритм <tex>A</tex>, который с константной вероятностью успеха решает <tex>P</tex> за <tex>s</tex> итераций. Тогда ''black-box'' сложность <tex>P</tex> не больше <tex>O(s)</tex>.

Будет Далее будет показано, что для любого константного <tex>k</tex> можно с высокой вероятностью решить проблему <tex>OneMax</tex> <ref>[http://tracer.lcc.uma.es/problems/onemax/onemax.html OneMax problem]</ref> за малое количество ''black-box'' обращений к <tex>Jump_k</tex>. С помощью этого утверждения можно показать, что для любого константного любой константы <tex>k</tex> несмещенная ''black-box'' сложность для функции <tex>Jump_k</tex> удивительно не реалистично мала.

|statement=<tex>\forall k,c</tex> существует унарная несмещенная процедура функция <tex>s</tex>, использующая <tex>c+1</tex> запросов к <tex>Jump_k</tex> такая, что для всех битовых строк <tex>x</tex>, <tex>s(x) = OneMax(x)</tex> с вероятностью <tex>1 - O(n^{-c})</tex>.|proof=Используется унарный несмещенный вариативный оператор <tex>flip_k</tex>, который равновероятно выбирает строку из <tex>k</tex>-окрестности для аргумента (битовую строку, которая отличается в <tex>k</tex> позициях). Затем будет использована процедура Ниже предлагается функция <tex>s</tex>, которая использует <tex>Jump_k</tex> для аппроксимации <tex>OneMax</tex> как показано ниже. Процедура выбирает <tex>c</tex> битовых строк в <tex>k</tex>-окрестности <tex>x</tex>. Если <tex>|x|_1 \geq n-k</tex>, то правдоподобноесть вероятность того, что хотя бы раз только единицы из в <tex>x</tex> будут замененытолько единицы, что приведет к тому, что <tex>Jump_k = |x|_1 - k</tex>. Так как больше никакая строка из выборки не будет иметь более низкое меньшее <tex>Jump_k</tex> значение, то добавление <tex>k</tex> к минимальному ненулевому значению <tex>Jump_k</tex> других строк из выборки приведет к нужному результату&mdash; функция вернет количество единиц в строке <tex>x</tex>. Случай, когда <tex>|x|_1 \leq k</tex>, аналогичен.

Понятно, что процедура верна функция корректна при всех <tex>x</tex>, таких, что <tex>k < |x|_1 < n-k</tex>. Остальные два случая симметричны, поэтому пусть <tex>|x|_1 \geq n-k</tex>. Очевидно, что результат процедуры корректен тогда и только тогда, когда хотя бы в одной из <tex>c</tex> строк были заменены только единицы. Вычислим Требуется вычислить вероятность <tex>p</tex> этого события. Мы выбираем Итеративно выбираются <tex>k</tex> бит для замены итеративно, поэтому после <tex>i</tex> итераций имеется как минимум <tex>n-k-i</tex> позиций с единицей из <tex>n-i</tex> невыбранных позиций. Отсюда, которые можно выбиратьс использованием неравенства Бернулли <ref>[http://en. Это приводит к границе wikipedia.org/wiki/Bernoulli%27s_inequality Bernoulli's inequality]</ref>, получается граница на вероятность выбора <tex>k</tex> единиц:

:<tex>(\frac{n-k}{n})\cdot(\frac{n-k-1}{n-1})\cdots(\frac{n-k-(k-1)}{n-(k-1)}) = \Pi_{i=0}^{k-1}(1 - \frac{k}{n-i}) \geq (1 - \frac{k}{n-k})^k \geq (1 - \frac{k^2}{n-k}),</tex>.

используя неравенство Бернулли. Таким образом имеем:

Процедура Функция <tex>s</tex>:

Процедуре Функции из [[#lemma3|предыдущей леммы]] для работы необходимо знание параметра знать параметр <tex>k</tex>. Процедуру , но ее можно модифицировать таким образом, что она будет работать без этого знания. Как только процедура функция впервые выберет случайную битовую строку с <tex>Jump_k=0</tex> она определит <tex>k</tex>, затем продолжит работу как было описано раньшевыше. Параметр <tex>k</tex> определяется с помощью выбора достаточно большого количества случайных строк в <tex>i</tex>-окрестности от строки с <tex>Jump_k=0</tex>, начиная с <tex>i=1</tex> и продолжая до тех пор, пока <tex>Jump_k</tex> не станет отличным от нуля. Эта Найденная строка будет иметь максимальное значение <tex>Jump_k=n-k-1</tex>. Из этого значения и <tex>n</tex> процедура функция может вычислить <tex>k</tex>.

Далее <tex>Partition_{\neq}</tex> &mdash; подкласс задачи <tex>Partition</tex> с взятыми заданными различными весами.

Предлагаются Далее предлагаются две различные ''fitness''-функции и показывается, что в обоих случаях может быть достигнута полиномиальная несмещенная ''black-box'' сложность. Показывается, что унарная несмещенная ''black-box'' сложность для задачи <tex>Partition_{\neq}</tex> равна <tex>O(n \log(n))</tex>.

Полагаем Пусть <tex>\mathcal{F}_{\mathcal{I}} := \{(\mathcal{I}_0, \mathcal{I}_1) \in 2^{\mathcal{I}} \times 2^{\mathcal{I}} | \mathcal{I}_0 \dot{\cup} \mathcal{I}_1 = \mathcal{I}\}</tex> &mdash; множество всех возможных решений для <tex>\mathcal{I}</tex>. Определим знаковую Знаковую ''fitness''-функцию функция определяется как:

Зафиксируем Необходимо ввести нумерацию элементов <tex>\mathcal{I}</tex>: <tex>\sigma: \mathcal{I} \rightarrow [n]</tex>. Для любой битовой строки <tex>x \in \{0,1\}^n</tex> определим определены <tex>\mathcal{I}_0(x) := \{w \in \mathcal{I} | x_{\sigma{w}} = 0\}</tex> и <tex>\mathcal{I}_1(x) := \{w \in \mathcal{I} | x_{\sigma{w}} = 1\}</tex>. Тогда ''fitness''-функция выглядит так:

|proof=Для доказательства будет построен теоретмы строится алгоритм с применением двух вариативных операторов:

Для краткости положим полагется <tex>f := f_{\mathcal{I}}</tex>.

13 В оффлайне вычисляем вычисляется оптимальное решение <tex>(\mathcal{O}_0, \mathcal{O}_1)</tex> и множество <tex>\mathcal{M} \leftarrow \{w \in \mathcal{O}_0 | w \notin \mathcal{I}_0'\} \cup \{w \in \mathcal{O}_1 | w \notin \mathcal{I}_1'\}</tex> &mdash; множество элементов, которые надо необходимо переместить.

За <tex>(1+o(1))n \log(n)</tex> итераций будут определены определяются веса всех элементов <tex>\mathcal{I}</tex>. Зная весаэлементов, можно в оффлайне перебором найти находится оптимальное решение задачи, после чего надо это решение необходимо восстановить с помощью вариативного <tex>1</tex>-арного оператора. Для этого было найдено построено множество <tex>\mathcal{M}</tex> &mdash; множество элементов, которые необходимо переместить для получения оптимального решения. В итоге получается, что несмещенная ''black-box'' сложность задачи <tex>Partition_{\neq}</tex> относительно заданной ''fitness''-функции равна <tex>O(n \log(n))</tex>. Полное доказательство приведено в работе <ref name="bbox"/>.

Кому-то может не понравитьсяМожно заметить, что при доказательстве [[#th6|предыдущей теоремы]] происходила минимизация не самой функции <tex>f_{\mathcal{I}}</tex>, а только ее абсолютной величины. Однако можно достичь той та же асимптотики асимптотика достигается и для беззнаковой ''fitness''-функции. Сложность заключается в том, что теперь в этом случае нельзя просто определить вес перемещенного элемента. Этот факт выражается в более сложной процедуре для определения весов элементов.

|proof=Для краткости положимполагается:

:*<tex>\mathcal{I}_{max(x)}</tex> &mdash; множество элементов, принадлежащих корзине с большим весом. Например , <tex>\mathcal{I}_{max(x)} = \mathcal{I}_0</tex> если <tex>S_0(x) \geq S_1(x)</tex>;

:*сгенерировать строкугенерируется строка, такуютакая, что все ее элементы находятся в одной корзине (с большой вероятностью это можно сделать за <tex>4n \log(n)</tex> запросов);:*за <tex>2n \log(n)</tex> шагов с помощью <tex>RLS(\cdot)</tex> опеределить опеределяются веса всех элементов (с большой вероятностью);:*за <tex>3n \log(n)</tex> шагов восстановить восстанавливаетчся решение (с большой вероятностью).

15 Вычислить Вычисление в оффлайне перебором оптимальное решение перебороим оптимального решения <tex>(\mathcal{O}_0, \mathcal{O}_1)</tex>, такое такого что <tex>w_{max} \in \mathcal{O}_1</tex>. <tex>\mathcal{M} \leftarrow \mathcal{O}_1</tex>;