Изменения

Возьмём нечётное <tex>n</tex>. Для него верно <tex>P_nQ_{n-1}-P_{n-1}Q_n =(-1)^{n+1}=1>0</tex>. Тогда <tex>\frac{P_n}{Q_n}>\frac{P_{n-1}}{Q_{n-1}}</tex>. Аналогично <tex>\frac{P_n}{Q_n}>\frac{P_{n+1}}{Q_{n+1}}</tex>. Также верно, что <tex>\frac{P_n}{Q_n}-\frac{P_{n-1}}{Q_{n-1}}=\frac{1}{Q_{n-1}Q_n}</tex> и <tex>\frac{P_n}{Q_n}-\frac{P_{n+1}}{Q_{n+1}}=\frac{1}{Q_{n+1}Q_n}</tex>. Вычитая одно из другого получаем <tex>\frac{P_{n+1}}{Q_{n+1}}-\frac{P_{n-1}}{Q_{n-1}}=\frac{Q_{n+1}-Q_{n-1}}{Q_{n-1}Q_nQ_{n+1}}>0</tex>. Получаем, что последовательность из подходящих дробей с чётным номером возрастает. Аналогично последовательность из подходящих дробей с нечётным номером убывает. Следовательно последовательность подходящих дробей с чётным номером ограничена сверху, а с нечётным ограничена снизу. Значит они имеют предел. Но <tex>\frac{P_n}{Q_n}-\frac{P_{n-1}}{Q_{n-1}}=\frac{1}{Q_{n-1}Q_n}\rightarrow 0</tex>, значит этот эти пределы совпадают.}} {{Теорема|statement=Для любого вещественного числа <tex>\alpha</tex> можно построить цепную дробь|proof=Пусть <tex>a_0=[\alpha]</tex>. Далее <tex>\alpha_1=\frac{1}{\alpha-a_0}</tex>. И определим все числа: <tex>a_i=[\alpha_i]</tex> и <tex>\alpha_i=\frac{1}{\alpha_{i-1}-a_{i-1}}</tex>. Последовательность подходящих дробей имеет предел совпадает. Докажем, что он равен <tex>\alpha</tex>. По тому какие мы брали <tex>\alpha_i</tex> имеем <tex>\alpha=[\alpha]+\frac{1}{[\alpha_1]+\frac{1}{[\alpha_2]+\cdots+\frac{1}{\alpha_k}}}</tex>. Теперь если взять вместо <tex>\alpha_k</tex> целую часть, то есть <tex>[\alpha_k]</tex>, то дробь <tex>\frac{1}{\alpha_k}</tex> увеличится, а дробь <tex>\frac{1}{[\alpha_{k-1}]+\frac{1}{\alpha_k}}</tex> уменьшится. И так далее. Получим, что подходящая дробь <tex>\frac{P_n}{Q_n}<\alpha<tex> при чётном <tex>n</tex> и <tex>\frac{P_n}{Q_n}>\alpha<tex> при нечётном <tex>n</tex>. Значит пределом подходящих дробей будет <tex>\alpha</tex>.