Изменения
Нет описания правки
|id=lemma3
|statement=<tex>\forall k,c</tex> существует унарная несмещенная функция <tex>s</tex>, использующая <tex>c+1</tex> запросов к <tex>Jump_k</tex> такая, что для всех битовых строк <tex>x</tex>, <tex>s(x) = OneMax(x)</tex> с вероятностью <tex>1 - O(n^{-c})</tex>.
|proof=Используется унарный несмещенный вариативный оператор <tex>flip_k</tex>, который равновероятно выбирает строку из <tex>k</tex>-окрестности для аргумента (битовую строку, которая отличается в <tex>k</tex> позициях). Ниже предлагается функция <tex>s</tex>, которая использует <tex>Jump_k</tex> для аппроксимации <tex>OneMax</tex>. Процедура Функция выбирает <tex>c</tex> битовых строк в <tex>k</tex>-окрестности <tex>x</tex>. Если <tex>|x|_1 \geq n-k</tex>, то есть вероятность того, что хотя бы раз в <tex>x</tex> будут заменены только единицы, что приведет к тому, что <tex>Jump_k = |x|_1 - k</tex>. Так как больше никакая строка из выборки не будет иметь меньшее <tex>Jump_k</tex> значение, то добавление <tex>k</tex> к минимальному ненулевому значению <tex>Jump_k</tex> других строк из выборки приведет к нужному результату — функция вернет количество единиц в строке <tex>x</tex>. Случай, когда <tex>|x|_1 \leq k</tex>, аналогичен.
Понятно, что функция корректна при всех <tex>x</tex>, таких, что <tex>k < |x|_1 < n-k</tex>. Остальные два случая симметричны, поэтому пусть <tex>|x|_1 \geq n-k</tex>. Очевидно, что результат процедуры функции корректен тогда и только тогда, когда хотя бы в одной из <tex>c</tex> строк были заменены только единицы. Требуется вычислить вероятность <tex>p</tex> этого события. Итеративно выбираются <tex>k</tex> бит для замены, поэтому после <tex>i</tex> итераций имеется как минимум <tex>n-k-i</tex> позиций с единицей из <tex>n-i</tex> невыбранных позиций. Отсюда, с использованием неравенства Бернулли <ref>[http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli%27s_inequality Bernoulli's inequality]</ref>, получается граница на вероятность выбора <tex>k</tex> единиц:
:<tex>(\frac{n-k}{n})\cdot(\frac{n-k-1}{n-1})\cdots(\frac{n-k-(k-1)}{n-(k-1)}) = \Pi_{i=0}^{k-1}(1 - \frac{k}{n-i}) \geq (1 - \frac{k}{n-k})^k \geq (1 - \frac{k^2}{n-k})</tex>.
