Изменения
Нет описания правки
По критерию Коши сходимости числовых рядов <tex>\sum\limits_{j=n+1}^m \|a_j\|^2 \to 0 \iff </tex>
}}
Возвращаясь к ряду по ортогональной системе <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_j e_j</tex>, получаем, что он сходится <tex>\iff</tex> сходится <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_j^2</tex>.
На базе рядов по ортогональной системе вводится понятие абстрактного ряда Фурье.
<tex>x = \sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_j e_j</tex>, то можно по непрерывности скалярного произведения, можно записать:
<tex>\langle x, e_k\rangle = \sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_j\langle e_j, e_k\rangle = \alpha_k</tex>
То есть, если <tex>x</tex> разлагается по ортогональной системе, то необходимо <tex>\alpha_j = \langle x, e_j\rangle</tex> {{---}} коэффициент Фурье.
Ценральную роль играет изучение ортогональных рядов вида <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j</tex>, <tex>x \in \mathcal{H}</tex>
В применении к <tex>L_2</tex>: <tex>f \in L_2</tex>, <tex>\langle f, \frac1{\sqrt\pi} \cos nx\rangle =\int\limits_Q f(x) \frac1\pi \cos nx dx = \sqrt\pi \left(\frac1\pi \int\limits_Q f(x) \cos nx dx\right) = \sqrt\pi a_n(f)</tex>
Аналогично, для синусов: <tex>\langle f, \frac1\pi \sin nx\rangle = \sqrt\pi b_n(f)</tex>
<tex>\langle f, \frac1{\sqrt{2\pi}}\rangle = \sqrt{\frac\pi2} a_0(f)</tex>
Тогда, получается: <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle f, e_j\rangle = </tex> (из того, что <tex>L_2</tex>) <tex>\sqrt{\frac\pi2} a_0(f) + \sum\limits_{n=1}^\infty(\sqrt\pi a_n(f)\cos nx + \sqrt\pi b_n(f) \sin nx)</tex>
С точностью до <tex>\sqrt\pi</tex> получается классический ряд Фурье.
{{TODO|t=Здесь где-то ошибка на <tex>\sqrt\pi</tex>. На лекции обещали, что так будет}}
Применим то, что было сказано выше: <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle f, e_j \rangle = e_j</tex> будет сходиться в <tex>L_2</tex> <tex>\iff</tex> сходится <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty (a_n^2(f) + b_n^2(f))</tex> (забиваем на множитель и одно слагаемое)
Вернёмся к общей теории.
{{Теорема
|author=Рисс, Фишер
|statement=<tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>, то
<tex>\exists x \in \mathcal{H}: \sum\limits_{j=1}^\infty c_ne_n = x</tex> , то есть, точка разложится в ряд Фурье.
|proof=
Выше мы проверяли, что, раз ряд ортогональный, то его сходимость равносильна сходимости <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>
Возьмём, значит, в качестве <tex>x</tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_ne_n</tex>
}}
Легко установить экстремальное свойство частичных сумм:
<tex>x = \sum\limits_{j=1}^\infty c_ne_n</tex>, <tex>x\in\mathcal{H}</tex>, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j</tex>, <tex>s_n(x) = \sum\limits_{j=1}^n \langle x, e_j\rangle e_j</tex>
Экстремальное свойство: <tex>\|x-s_n(x)\|^2 = \inf \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k\|</tex>, <tex>\alpha_k \in \mathbb{R}</tex>
Из него получается неравенство Бесселя: <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty |\langle x, e_j\rangle|^2 \le \|x\|^2</tex> {{TODO|t=зачем модуль?}}
Раз ряд состоит из квадратов коэффициентов Фурье, то он всегда сходится. В любом случае, ряд Фурье будет сходиться в <tex>\mathcal{H}</tex>.
Возникает вопрос: ''к чему же?''
<tex>y = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j</tex>. Правда ли что <tex>x = y</tex>?
{{Утверждение
|statement=Не всегда
|proof=
Рассмотрим в <tex>\mathbb{R}^3</tex> ОНС <tex>\{e_1, e_2\}</tex>.
<tex>x = e_3</tex>, <tex>\langle x, e_1\rangle = \langle x, e_2\rangle = 0</tex>
<tex>\langle x, e_1\rangle e_1 + \langle x, e_2\rangle e_2 = 0</tex>
<tex>\alpha e_1 + \beta e_2 \in \mathcal{L}(e_1, e_2)</tex>
Сумма ряда Фурье <tex>=0</tex>, что <tex>\ne e_3</tex>
}}
Таким образом, ряд Фурье всегда сходится, но не всегда к тому, к чему хотелось бы.
Для того, чтобы сгладить последствия этого, используют только ОНС со следующими дополнительными свойствами:
# ОНС {{---}} замкнута: <tex>\forall j : \langle x, e_j\rangle = 0 \Rightarrow x = 0</tex>
# ОНС {{---}} полная: <tex>\operatorname{Cl} \mathcal{L}(e_1, \ldots, e_n) = \mathcal{H}</tex>
{{Теорема
|statement=ОНС {{---}} полная <tex>\iff</tex> ОНС {{---}} замкнутая
|proof=
<tex>\Rightarrow</tex> Пусть ОНС {{---}} полная
<tex>x \in \mathcal{H}</tex>, <tex>\forall j: \langle x, e_j\rangle = 0</tex>. В силу полноты системы, <tex>\forall \varepsilon > 0 : \exists \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k : \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k\| < \varepsilon</tex>
Но частичная сумма ряда Фурье обладает экстремальным свойством:
<tex>\|x-s_n\| \le \|\sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k-x\|<\varepsilon</tex>
<tex>\|x - s_{n+p}(x)\| \le \|x - s_n(x)\| \le \varepsilon</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>x</tex> разложжилось в ряд Фурье
А раз у <tex>x</tex> все коэффициенты нулевые, то сумма ряда {{---}} 0.
Значит, из полноты вытекает замкнутость.
<tex>\Leftarrow</tex> Пусть система замкнута
<tex>\forall x \in \mathcal{H} : \sum\limits_{n=1}^\infty |\langle x, e_n\rangle|^2 < +\infty</tex>. По теореме Рисса-Фишера, <tex>\exists y = \sum\limits_{k=1}^\infty \langle x, e_k\rangle e_k</tex>
По свойствам ортогональных рядов, <tex>\langle y, e_k\rangle = \langle x, e_k\rangle</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\langle y - x, e_k\rangle =0</tex>
Но система замкнута <tex>\Rightarrow</tex> <tex>y - x = 0</tex>, то есть, <tex>x = y</tex>
Значит, <tex>x</tex> разложилось в ряд Фурье <tex>\Rightarrow</tex> <tex>x = \lim\limits_{n\to\infty} s_n(x)</tex>, что и означает полноту системы.
}}
Собирая всё это вместе, приходим к финальному результату
{{Теорема
|statement=<tex>e_1, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, замкнутая(или полная). Тогда <tex>\forall x \in \mathcal{H}</tex> разкладывается в ряд Фурье
}}
{{Теорема
|statement=<tex>f \in L_2</tex> <tex>\Rightarrow</tex> функция <tex>f</tex> разлагается в ряд Фурье по метрике <tex>L_2</tex>
}}
<tex>x = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\|x\|^2 = \sum\limits_{j=1}^\infty |\langle x, e_k\rangle|^2</tex> {{---}} уравнение замкнутости.
Оно так называется потому, что если оно выполняется, для любого <tex>x</tex>, то соответствующая ОНС {{---}} замкнутая.
Возьмём вторую точку <tex>y = \sum \langle y, e_k\rangle e_k</tex>
{{Утверждение
|author=Персеваль
|statement=<tex>\langle x, y\rangle = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle \cdot \langle y, e_j\rangle</tex>
}}
Прикладывая всё это к <tex>L_2</tex> и вспоминая связь коэффициентов Фурье с коэффициентами в <tex>L_2</tex>-теории, приходим к равенству Персеваля:
<tex>\int\limits_Q fg = \frac{a_0(f)+a_0(g)}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n(f)a_n(g) + b_n(f)b_n(g))</tex>
В частности, <tex>\int\limits_Q f^2 = \frac{a_0^2(x)}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n^2(f) + b_n^2(f))</tex>
Далее, в замкнутых системах, <tex>\|x-s_n(x)\|^2 = \|\sum\limits_{k=n+1}^\infty \langle x, e_k\rangle e_k\|^2 = \sum\limits_{k=n+1}^\infty |\langle x, e_k\rangle|^2</tex>
С другой стороны, экстремальное свойство частичных сумм показывает, что
<tex>\|x-s_n(x)\| = E_n^2(x)_n</tex>
Итого: <tex>E_n^2(x)_n = \sum\limits_{k=n+1}^\infty |\langle x, e_k\rangle|^2</tex>
В <tex>L_2</tex>: <tex>E_n^2(x)_n = \pi\sum\limits_{k=n+1}^\infty (a_k^2(f) + b_k^2(f)) </tex>
