Изменения

В этом параграфе установим ряд (теорем?), гарантирующих, что <tex>\lim\limits_{n\to\infty} \int\limits_0^\pi \phi_xvarphi_x(t) D_n(t) dt = 0</tex>, что равносильно <tex>s_n(f, x) \to s</tex>.

|author=Дини|statement=<tex>f\in L_1</tex>, <tex>s \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi \frac{\phi_xvarphi_x(t)}{t} dt</tex> {{---}} конечен. Тогда <tex>s = \lim\limits_{n\to\infty} s_n(f, x)</tex>|proof=<tex>s_n(f, x) - s = \int\limits_0^\pi \phi_xvarphi_x(t) \frac1{2\pi} \frac{\sin(n + 1/2)t}{\sin t/2} dt</tex><tex>= \frac1{2\pi} \int\limits_0^\pi \phi_xvarphi_x(t)\frac1{2\pi} \cos nt dt + \frac1{2\pi}\int\limits_0^\pi \phi_xvarphi_x(t) \frac{\cos t/2}{\sin t/2} \sin nt dt</tex>

По лемме Римана-Лебега, так как <tex>\phi_xvarphi_x(t)</tex> {{---}} суммируемая, первое слагаемое при <tex>n\to\infty</tex>

Так как, по условию, <tex>\int\limits_0^\pi \frac{|\phi_xvarphi_x(t)|}{t} dt < +\infty</tex>, <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 : \int\limits_0^\delta \frac{|\phi_xvarphi_x(t)|}{t} dt < \varepsilon</tex>

Тогда <tex>\left|\int\limits_0^\pi \phi_xvarphi_x(t) \frac{\cos t/2}{\sin t/2} \sin nt dt \right|</tex><tex>\le \int\limits_0^{\pi delta} |\phi_xvarphi_x(t)| \frac1frac{1}{\sin t/2 [\ge t/\pi]} \cdot 1 \cdot dt + </tex><tex>\left| \int\limits_\delta^\pi \phi_xvarphi_x(t) \frac{\cos t/2}{\sin t/2}\sin nt dt \right|</tex>

<tex>\int\limits_0^\delta \le \pi \int\limits_0^\delta \frac{|\phi_xvarphi_x(t)|}{t} dt</tex>

Так <tex>\int\limits_\delta^\pi \xrightarrow[n\to\infty]{} 0 </tex> по лемме Римана-Лебега, так как <tex>\phi_xvarphi_x(t)</tex> {{---}} суммируемая, а <tex>\frac{\cos t/2}{\sin t/2}</tex> {{---}} — ограниченная, то,по лемме Римана-Лебега, <tex>\int\limits_\delta^\pi \stackrel{n\to\infty}{\to} 0 </tex>и суммируемая.

<tex>\frac{|\phi_xvarphi_x(t)|}t \le \frac{|f(x + t) - f(x + 0)|}{t} + \frac{|f(x - t) - f(x - 0|}{t}</tex>

Значит, <tex>\frac{|\phi_xvarphi_x(t)|}t</tex> ограничена справа от нуля, а значит, суммируемая.