223
правки
Изменения
м
→Теорема Фейера в L_p
<tex>= \int\limits_{Q} |f(x + t)\Phi_n^{\frac1p}(t)| \Phi_n^{\frac1q}(t) dt \le (\int\limits_{Q} |f(x + t)|^p \Phi_n(t) dt)^{\frac1p} (\int\limits_{Q} \Phi_n(t) dt)^{\frac1q}</tex> (здесь мы воспользовались неравенством Гельдера). Несложно заметить, что второй множитель равен <tex> 1 </tex>. Подставим это неравенство под знак интеграла в предыдущем равенстве:
<tex> \|\sigma_n(f)\|^p_p \le \int\limits_{Q}(\int\limits_{Q} |f(x+t)|^p\Phi_n(t) dt)dx = </tex> (воспользуемся по [[Теорема Фубини|теоремой теореме Фубини]]меняем порядок интегрирования)
<tex> = \int\limits_{Q}(\int\limits_{Q} |f(x+t)|^p\Phi_n(t) dx)dt = \int\limits_{Q}\Phi_n(t) (\int\limits_{Q} |f(x+t)|^p dx)dt =</tex> <tex>\int\limits_{Q}\Phi_n(t) (\int\limits_{Q} |f(x)|^p dx)dt = \int\limits_{Q} |f(x)|^p dx </tex>.
Возводя неравенство в степень <tex> \frac1p </tex>, получаем требуемое.
