Изменения
Лемма о разности
Пусть <tex> G = (V, E) </tex> - транспортная сеть с источником <tex>s</tex> и стоком <tex>t</tex>, а <tex>f</tex> - поток в <tex>G</tex>. Пусть <tex>G_f</tex> - остаточная сеть в <tex>G</tex>, порожденная потоком <tex>f</tex>, а <tex>f'</tex> - поток в <tex>G_f</tex>. Тогда сумма потоков <tex>f + f'</tex>, определяемая уравнением <tex>(f + f')(u, v) = f(u,v) + f'(u,v)</tex>, является потоком в <tex>G</tex>, и величина этого потока равна <tex>|f + f'| = |f| + |f'|</tex>.
|proof=
Необходимо проверить, выполняются ли ограничения антисимметричности, пропускной способности и сохранения потока. <br> 1) Для подтверждения антисимметричности заметим, что для всех <tex>(u,v) \in V</tex>, справедливо: <br>
<tex> (f + f')(u, v) = f(u,v) + f'(u,v) = -f(v,u) - f'(v,u) </tex> <tex> = -(f(v,u) + f'(v,u)) = -(f + f')(v,u)</tex>
<tex> \sum\limits_{v\in V} (f + f')(u, v) = \sum\limits_{v\in V} (f(u,v) + f'(u,v)) = \sum\limits_{v\in V} f(u,v) + \sum\limits_{v\in V} f'(u,v) = 0 + 0 = 0</tex> <br>
<tex> |f + f'| = \sum\limits_{v\in V} (f + f')(s, v) = \sum\limits_{v\in V} (f(s,v) + f'(s,v)) </tex> <tex>= \sum\limits_{v\in V} f(s,v) + \sum\limits_{v\in V} f'(s,v) = |f| + |f'|</tex>
}}
==Аналогичная лемма о разности потоков==
{{Лемма
|statement=
Также есть аналогичная лемма о разности потоков. Пусть <tex> G = (V, E) </tex> - транспортная сеть с источником <tex>s</tex> и стоком <tex>t</tex>, а <tex>h</tex> и <tex>f</tex> - потоки в <tex>G</tex>. Пусть <tex>G_f</tex> - остаточная сеть в <tex>G</tex>, порожденная потоком <tex>f</tex>. Тогда разность потоков <tex>h - f</tex>, определяемая уравнением <tex>(h - f)(u, v) = h(u,v) - f(u,v)</tex>, является потоком в <tex>G_f</tex>, и величина этого потока равна <tex>|h - f| = |h| - |f|</tex>.
|proof=
Антисимметричность и правило сохранения потока для <tex>h - f</tex> проверяются аналогично лемме о сложении потоков.
Покажем соблюдение ограничений пропускной способности.
<tex>(h - f)(u,v) = h(u,v) - f(u,v) \le c(u,v) - f(u,v) = c_f(u,v) </tex>.
Теперь покажем, что величина потока <tex>h - f</tex> равна разности величин потоков <tex>h</tex> и <tex>f</tex>.
<tex> |h - f| = \sum\limits_{v\in V} (h - f)(s, v) = \sum\limits_{v\in V} (h(s,v) - f(s,v)) </tex> <tex>= \sum\limits_{v\in V} h(s,v) - \sum\limits_{v\in V} f(s,v) = |h| - |f|</tex>
}}
