Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Независимые случайные величины

925 байт добавлено, 21:02, 4 марта 2018
м
Нет описания правки
{{Определение
|id=def1
|definition=Cлучайные величины <tex> \xi</tex> и <tex>\eta</tex> называются '''независимыми'''(англ. ''independent''), если <tex>\forall \alpha ,\beta \in \mathbb R</tex> события <tex>[ \xi \leqslant \alpha ]</tex> и <tex>[ \eta \leqslant \beta ]</tex> [[Независимые события|независимы]].<br> <tex>P((\xi \leqslant \alpha) \cap (\eta \leqslant \beta)) = P(\xi \leqslant \alpha)·P\cdot P(\eta \leqslant \beta)</tex>
}}
Иначе говоря, две случайные величины называются независимыми, если по значению одной нельзя сделать выводы о значении другой.
{{Определение
|id=def2
|definition=Случайные величины <tex>\xi_1,...\ldots ,\xi_n</tex> называются '''независимы в совокупности'''(англ. ''mutually independent''), если события <tex>\xi_1 \leqslant \alpha_1,...\ldots ,\xi_n \leqslant \alpha_n</tex> независимы в совокупности<ref>[[Независимые события]]</ref>.
}}
 
== Примеры ==
==== Карты ====
Пусть есть колода из <tex>36 </tex> карт (<tex>4 </tex> масти и <tex>9 </tex> номиналов). Мы вытягиваем одну карту из случайным образом перемешанной колоды (вероятности вытягивания каждой отдельной карты равны). Определим следующие случайные величины:
<mathtex>\xi</mathtex> {{- --}} масть вытянутой карты : <tex>0 </tex> {{- --}} червы, <tex>1 </tex> {{--- }} пики, <tex>2 </tex> {{-- -}} крести, <tex>3 </tex> {{--- }} бубны
<mathtex>\eta</mathtex> - номинал вытянутой карты : принимает значение <tex>0 - номиналы </tex> при вытягивании карт с номиналами <tex>6 , 7 , 8 , 9 , 10; </tex> или <tex>1 - валет, дама</tex> при вытягивании валета, корольдамы, тузкороля или туза
Для доказательства того, что <mathtex>\xi, \eta</mathtex> независимы, требуется рассмотреть все <mathtex>\alpha,\beta</mathtex> и проверить выполнение равенства:<mathtex>P((\xi \leqslant \alpha)\cap(\eta \leqslant \beta)) = P(\xi \leqslant \alpha) \cdot P(\eta \leqslant \beta)</mathtex>
Для примера рассмотрим <mathtex>\alpha = 0, \beta = 0</mathtex>, остальные рассматриваются аналогично:
<math dpi = "160"tex>P((\xi \leqslant 0)\cap(\eta \leqslant 0)) = </tex> <tex dpi = "160" > \fracdfrac{5}{36}</mathtex>
<math dpi = "160"tex>P(\xi \leqslant 0) \cdot P(\eta \leqslant 0) = </tex> <tex dpi = "160" > \fracdfrac{1}{4} </tex> <tex> \cdot </tex> <tex dpi = "160" > \fracdfrac{5}{9} </tex> <tex> = </tex> <tex dpi = "160" > \fracdfrac{5}{36}</mathtex>
==== Тетраэдр ====
Рассмотрим вероятностное пространство «тетраэдр». Каждое число соответствует грани тетраэдра (по аналогии с игральной костью): <tex>\Omega = \mathcal {f} 0, 1, 2, 3 \mathcal {g}</tex>. <tex>\xi (i) = i~mod~\bmod 2</tex>, <tex>\eta(i) = \left \lfloor \dfrac{i / }{2 } \right \rfloor</tex>.
Рассмотрим случай: <tex>\alpha = 0</tex>, <tex>\beta = 1</tex>. <tex>P(\xi \leqslant 0) = </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{1/}{2} </tex>, <tex>P(\eta \leqslant 1) = 1</tex>, <tex>P((\xi \leqslant 0) \cap (\eta \leqslant 1)) = </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{1/}{2} </tex>.
Для этих значений <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> события являются независимыми, так же, как и для других (рассматривается аналогично), поэтому эти случайные величины независимы.
Заметим, что если: <tex>\xi (i) = i~mod~\bmod 3</tex>, <tex>\eta(i) = \left \lfloor \dfrac{i / }{3 } \right \rfloor</tex>, то эти величины зависимы: положим <tex>\alpha = 0, \beta = 0</tex>. Тогда <tex>P(\xi \leqslant 0) = </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{1/}{2} </tex>, <tex>P(\eta \leqslant 0) = </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{3/}{4} </tex>, <tex>P((\xi \leqslant 0) \cap (\eta \leqslant 10)) = </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{1}{4} </4 tex> <tex> \neq P(\xi \leqslant 0) \cdot P(\eta \leqslant 0)</tex>.
==== Честная игральная кость ====
Рассмотрим вероятностное пространство «честная игральная кость»: <tex>\Omega = \mathcal {f} 1, 2, 3, 4, 5, 6 \mathcal {g}</tex>, <tex>\xi (i) = i~mod~\bmod 2</tex>, <tex>\eta (i) = \dfrac{\mathcal {b} i / }{3 \mathcal {c}}</tex>.Для того, чтобы показать, что величины <mathtex>\xi, \eta</mathtex> зависимы, надо найти такие <mathtex>\alpha, \beta</mathtex>, при которых<mathtex>P((\xi \leqslant \alpha)\cap(\eta \leqslant \beta)) \neq P(\xi \leqslant \alpha) \cdot P(\eta \leqslant \beta)</mathtex>
При <mathtex>При \alpha = 0, \beta = 1</mathtex>:
<math dpi = "160"tex>P((\xi \leqslant 0)\cap(\eta \leqslant 1)) = </tex> <tex dpi = "160" > \fracdfrac{2}{6} </tex> <tex> = </tex> <tex dpi = "160" > \fracdfrac{1}{3}</mathtex>, <math dpi = "160"tex>P(\xi \leqslant 0) = </tex> <tex dpi = "160" > \fracdfrac{1}{2}</mathtex>, <math dpi = "160"tex>P(\eta \leqslant 1) = </tex> <tex dpi = "160" > \fracdfrac{5}{6}</mathtex>
<mathtex>P((\xi \leqslant 0)\cap(\eta \leqslant 1)) \neq P(\xi \leqslant 0) \cdot P(\eta \leqslant 1)</mathtex>, откуда видно, что величины не являются независимыми.
== Примечания См.также==<references/>*[[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие]]*[[Дискретная случайная величина]]*[[Математическое ожидание случайной величины]]
== Источники информации ==*[http://nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node38.html НГУ {{---}} Независимость случайных величин]
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9)#.D0.9D.D0.B5.D0.B7.D0.B0.D0.B2.D0.B8.D1.81.D0.B8.D0.BC.D1.8B.D0.B5_.D1.81.D0.BB.D1.83.D1.87.D0.B0.D0.B9.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.B2.D0.B5.D0.BB.D0.B8.D1.87.D0.B8.D0.BD.D1.8B Независимость (теория вероятностей) Википедия {{---}} ВикипедияНезависимость (теория вероятностей)]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Теория вероятности]]
263
правки

Навигация