262
правки
Изменения
м
→Санкт-Петербургский парадокс
=== Разбор ===
Согласно некоторым статистическим данным, игрок готов заплатить за участие в такой игре 10-20, редко 50 рублей, что нелогично с математической точки зрения, ведь мат. ожидание выигрыша в такой ситуации равно бесконечности. Докажем это:
Рассмотрим величину <tex> E_{n} </tex> - мат. ожидание выигрыша с n-й попытки:<br> <tex> E_{1} = 1 \cdot \frac{1}{2} = 0,5</tex>;<br> <tex> E_{2} = 2 \cdot \frac{1}{4} = 0,5</tex>;<br> ...<br> <tex> E_{n} = \frac{2^{n-1}}{2^n} = 0,5</tex>;<br>
Согласно линейности мат. ожидания, мат. ожидание выигрыша в этом случае равно <tex>E_{1}+E_{1}+... = 0,5+0,5+0,5 = \infty </tex><br>
Данный парадокс до сих пор не имеет математически полного решения. Нетрудно заметить, что задача легко решается если наложить ограничения на количество игр и предельно малую вероятность, которую можно считать ненулевой.
Вероятность того, что в определённой игре количество бросков превысит ''n'', равна <tex>\frac{1}{2^{n}}</tex>. Пусть игрок может сыграть не более ''k'' игр. Тогда вероятность того, что количество бросков хотя бы в одной игре превысит ''n'', равна <tex>1-(1-\frac{1}{2^{n}})^{k}</tex>.<br>
Известно, что <tex>\lim_{n\rightarrow\infty}1-(1-\frac{1}{2^{n}})^{k} = \frac{k}{2^{n}}</tex> (теорема Бернулли).
Пусть ''p'' - предельная ненулевая вероятность. Тогда «реальное» количество бросков не превышает <tex>\log_2 \frac{k}{p}</tex>. При таком допущении средний выигрыш за одну игру приближёно равен:
