277
правок
Изменения
→Теорема о перестановке пределов
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f_n: X \rightarrow \mathbb{R} </tex>, <tex> x_0 \in X </tex> ([или даже <tex> x_0 </tex> — предельная точка <tex> X </tex>)]
1) <tex> f_n(x) </tex> сходится равномерно к <tex> S(x) </tex> при <tex> n \to + \infty, \ x \in X </tex>
2) <tex> S(x) \underset{x \to x_0}{\rightarrow} A </tex>
|proof=
<tex> u_1 = f_1; \ u_2 = f_2 - f_1; \ u_3 = f_3 - f_2; </tex>
Тогда: <tex> f_N(x) = \sum_{n = 1}^{N}u_n(x) </tex>
Условие 1: <tex> \sum u_n </tex> р. сх. к сумме <tex> S(x) </tex>
<tex> u_n = f_n - f_{n - 1} </tex>
Условие 2: <tex> lim_{x \rightarrow x_0}u_n(x) = a_n = A_n - A_{n - 1} </tex> (при <tex> n = 1</tex> проявить сообразительность)
<tex> A_n = \sum_{k = 1}^{n}a_k </tex>
по теореме о почл. пр. переходе в суммах:
1) <tex> \sum a_k </tex> — сх., т.е. <tex>\exists lim_{n \rightarrow + \infty} A_n = A</tex>
2) <tex> \sum a_n = lim_{x \rightarrow x_0}(\sum u_n(x)) </tex>
<tex> S(x) \xrightarrow[x \rightarrow x_0]{} A </tex>
}}
