Изменения

{{Утверждение|statement=Счетно-нормированные пространства можно метризовать как $\mathbb{R}^{\infty}$: $\rho(x, y) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} {p_n(x - y) \over 1 + p_n(x - y)}$.TODO|proof=# Очевидно, $\rho(x, x) \ge 0$, рассмотрим, когда $\rho(x, y) = 0$, это значит, что $\forall n: проверитьp_n(x - y) = 0$, чтолипо определению счетно-нормированного пространства это означает, что $x - y = 0 \implies x = y$.# Очевидно# Проверяется аналогично [[Метрические пространства#rinfcoordconv]], рассмотрим функцию $f(t) = \frac{t}{1 + t}$, для нее выполняется $f(t_1) < f(t_2)$ при $t_1 < t_2$ и $f(t_1 + t_2) < f(t_1) + f(t_2)$ для всех $t_1, t_2 > 0$. Рассмотрим каждое $p_n(x - z) = p_n((x - y) + (y - z)) \le p_n(x - y) + p_n(y - z)$. Тогда $f(p_n(x - z)) \le f(p_n(x - y) + p_n(y - z)) \le f(p_n(x - y)) + f(p_n(y - z))$. И проверитьТогда и $\sum\limits_n \frac{1}{2^n} \frac{p_n(x - z)}{1 + p_n(x - z)} \le \sum\limits_n \frac{1}{2^n} \frac{p_n(x - y)}{1 + p_n(x - y)} + \sum\limits_n \frac{1}{2^n} \frac{p_n(y - z)}{1 + p_n(y - z)}$, гарантирует ли это ту же самую сходимостьчто и требовалось доказать.}}