50
правок
Изменения
Новая страница: «== Верхняя оценка длиной максимального нечетного цикла == {{Лемма |about = оценка хроматичес...»
== Верхняя оценка длиной максимального нечетного цикла ==
{{Лемма
|about = оценка хроматического числа длиной максимального нечётного цикла
|statement= Пусть <tex>G(V,E)</tex> - произвольный связный неориентированный граф и <tex>\Delta(G)</tex> - длина максимального простого цикла графа <tex>G</tex>, <tex>\Delta \ge 3</tex>. Тогда, <tex>\chi(G) \le \Delta(G) + 1</tex>.
|proof=
Опишем на графе следующий алгоритм раскраски:
*Из произвольной вершины <tex>v</tex> запусти алгоритм поиска в глубину. Пусть <tex>T</tex> {{---}} дерево обхода глубина графа <tex>G</tex> с корнем в вершине <tex>v</tex>.
*Произвольную вершину <tex>u</tex>, покрасим в цвет <tex>dist(v,u)</tex> <tex> \mod </tex> <tex> (\Delta + 1)</tex>, где <tex>dist(v,u)</tex>{{---}} расстояние между вершинами <tex>u,v</tex> в графe <tex>T</tex>.
Докажем от противного, что после выполнения описанного алгоритма граф <tex>G</tex> будет правильно раскрашен.
Предположим, что после выполнения алгоритма покраски в графе существует ребро, соединяющее вершины <tex> a,b </tex> одного цвета.Пусть <tex>color(v)</tex> {{---}} цвет вершины после выполнения алгоритма раскраски.Заметим, что для произвольной вершины графа <tex>p</tex>, <tex>dist(v,p) = color(p) + n(\Delta + 1)</tex> , <tex>n \ge 0 </tex>.Тогда, <tex>dist(v,a) - dist(v,b) = k(\Delta + 1)</tex>.Поскольку в дереве dfs между вершинами находящимися на одинаковом расстоянии от корня нет перекрестных ребер, то <tex> k \ge 1</tex>. То есть, вершины <tex>a,b</tex> лежат на простом цикле длины по крайней мере <tex>\Delta + 2</tex>. Получается противоречие с условием потому, что длина максимального простого цикла получается больше чем <tex>\Delta</tex>.
Таким образом в графе <tex>G</tex> после выполнения алгоритма раскраски нет вершин одного цвета соединенных ребром и при этом каждая вершина покрашена в один из <tex>\Delta + 1</tex>, то есть <tex>G</tex> правильно раскрашен в <tex>\Delta + 1</tex> цвет, следовательно <tex>\chi(G) \le \Delta(G) + 1</tex>
}}
==Оценка связанная с внутренним устойчивым множеством ==
{{Определение
|definition=
Подмножество <tex>S</tex> вершин графа <tex>G</tex> называется '''внутренне устойчивым''', если любые две вершины из <tex>S</tex> не смежны в <tex>G</tex>
}}
{{Определение
|definition=
'''Число внутренней устойчивости''' <tex>\alpha(G)</tex> графа <tex>G(V,E)</tex> {{---}} <tex>max \{|S|:S \in V</tex> и S внутренне устойчиво в G<tex>\}</tex>
}}
{{Лемма
|about = нижняя оценка
|statement= Пусть <tex>G(V,E)</tex> - произвольный связный неориентированный граф с <tex>n</tex> вершинами и <tex>m</tex> ребрами.Тогда, <tex>n/\alpha \le \chi(G)</tex>.
|proof=
Пусть, <tex>V_1,V_2...V_\chi</tex> множеств вершин окрашенных в соответствующей цвет при правильно покраски графа <tex>G</tex>.Каждое из <tex>V_i</tex> {{---}} внутренне устойчивое множество (поскольку вершины множества покрашены в один цвет при правильной покраски графа <tex>G</tex>, следовательно они не смежны ).
Заметим, что для произвольного <tex>i</tex>, <tex>|V_i| \le \alpha</tex> (т.к <tex>V_i</tex> внутренне устойчиво). То есть, <tex>\sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i| = n \le \chi \alpha </tex>, следовательно <tex>n / \alpha \le \chi</tex>.
}}
== Верхняя оценка количеством ребром ==
{{Лемма
|about = верхняя оценка
|statement= Пусть <tex>G(V,E)</tex> - произвольный связный неориентированный граф с <tex>m</tex> ребрами.Тогда, <tex>\chi(G) \le \frac{1}{2} +\sqrt{2m + \frac{1}{4}}</tex>.
|proof=
Пусть, <tex>V_1,V_2...V_\chi</tex> множеств вершин окрашенных в соответствующей цвет при правильно покраски графа <tex>G</tex>. Заметим, что между любыми двумя такими различными множествами существует хотя бы одно ребро (в противном случаи эти множества можно было бы покрасить в один цвет).
Тогда, <tex>\frac{1}{2}\chi(\chi-1) \le m \Rightarrow (\chi - \frac{1}{2})^2 \le 2m + \frac{1}{4} \Rightarrow \chi(G) \le \frac{1}{2} +\sqrt{2m + \frac{1}{4}} </tex>.
}}
{{Лемма
|about = оценка хроматического числа длиной максимального нечётного цикла
|statement= Пусть <tex>G(V,E)</tex> - произвольный связный неориентированный граф и <tex>\Delta(G)</tex> - длина максимального простого цикла графа <tex>G</tex>, <tex>\Delta \ge 3</tex>. Тогда, <tex>\chi(G) \le \Delta(G) + 1</tex>.
|proof=
Опишем на графе следующий алгоритм раскраски:
*Из произвольной вершины <tex>v</tex> запусти алгоритм поиска в глубину. Пусть <tex>T</tex> {{---}} дерево обхода глубина графа <tex>G</tex> с корнем в вершине <tex>v</tex>.
*Произвольную вершину <tex>u</tex>, покрасим в цвет <tex>dist(v,u)</tex> <tex> \mod </tex> <tex> (\Delta + 1)</tex>, где <tex>dist(v,u)</tex>{{---}} расстояние между вершинами <tex>u,v</tex> в графe <tex>T</tex>.
Докажем от противного, что после выполнения описанного алгоритма граф <tex>G</tex> будет правильно раскрашен.
Предположим, что после выполнения алгоритма покраски в графе существует ребро, соединяющее вершины <tex> a,b </tex> одного цвета.Пусть <tex>color(v)</tex> {{---}} цвет вершины после выполнения алгоритма раскраски.Заметим, что для произвольной вершины графа <tex>p</tex>, <tex>dist(v,p) = color(p) + n(\Delta + 1)</tex> , <tex>n \ge 0 </tex>.Тогда, <tex>dist(v,a) - dist(v,b) = k(\Delta + 1)</tex>.Поскольку в дереве dfs между вершинами находящимися на одинаковом расстоянии от корня нет перекрестных ребер, то <tex> k \ge 1</tex>. То есть, вершины <tex>a,b</tex> лежат на простом цикле длины по крайней мере <tex>\Delta + 2</tex>. Получается противоречие с условием потому, что длина максимального простого цикла получается больше чем <tex>\Delta</tex>.
Таким образом в графе <tex>G</tex> после выполнения алгоритма раскраски нет вершин одного цвета соединенных ребром и при этом каждая вершина покрашена в один из <tex>\Delta + 1</tex>, то есть <tex>G</tex> правильно раскрашен в <tex>\Delta + 1</tex> цвет, следовательно <tex>\chi(G) \le \Delta(G) + 1</tex>
}}
==Оценка связанная с внутренним устойчивым множеством ==
{{Определение
|definition=
Подмножество <tex>S</tex> вершин графа <tex>G</tex> называется '''внутренне устойчивым''', если любые две вершины из <tex>S</tex> не смежны в <tex>G</tex>
}}
{{Определение
|definition=
'''Число внутренней устойчивости''' <tex>\alpha(G)</tex> графа <tex>G(V,E)</tex> {{---}} <tex>max \{|S|:S \in V</tex> и S внутренне устойчиво в G<tex>\}</tex>
}}
{{Лемма
|about = нижняя оценка
|statement= Пусть <tex>G(V,E)</tex> - произвольный связный неориентированный граф с <tex>n</tex> вершинами и <tex>m</tex> ребрами.Тогда, <tex>n/\alpha \le \chi(G)</tex>.
|proof=
Пусть, <tex>V_1,V_2...V_\chi</tex> множеств вершин окрашенных в соответствующей цвет при правильно покраски графа <tex>G</tex>.Каждое из <tex>V_i</tex> {{---}} внутренне устойчивое множество (поскольку вершины множества покрашены в один цвет при правильной покраски графа <tex>G</tex>, следовательно они не смежны ).
Заметим, что для произвольного <tex>i</tex>, <tex>|V_i| \le \alpha</tex> (т.к <tex>V_i</tex> внутренне устойчиво). То есть, <tex>\sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i| = n \le \chi \alpha </tex>, следовательно <tex>n / \alpha \le \chi</tex>.
}}
== Верхняя оценка количеством ребром ==
{{Лемма
|about = верхняя оценка
|statement= Пусть <tex>G(V,E)</tex> - произвольный связный неориентированный граф с <tex>m</tex> ребрами.Тогда, <tex>\chi(G) \le \frac{1}{2} +\sqrt{2m + \frac{1}{4}}</tex>.
|proof=
Пусть, <tex>V_1,V_2...V_\chi</tex> множеств вершин окрашенных в соответствующей цвет при правильно покраски графа <tex>G</tex>. Заметим, что между любыми двумя такими различными множествами существует хотя бы одно ребро (в противном случаи эти множества можно было бы покрасить в один цвет).
Тогда, <tex>\frac{1}{2}\chi(\chi-1) \le m \Rightarrow (\chi - \frac{1}{2})^2 \le 2m + \frac{1}{4} \Rightarrow \chi(G) \le \frac{1}{2} +\sqrt{2m + \frac{1}{4}} </tex>.
}}
