Изменения

следующим образом. Я вижу в своём конверте сумму X. Если Х = 1, то менять точно выгодно. если Х другой, то в чужом конверте равновероятно может находиться <texdpi="150"> 2X </tex> или <texdpi="120"> X \over 2</tex>. Поэтому, если я поменяю конверт, то у меня в среднем будет <texdpi="150"> \tfrac{(2X + \tfrac{X}{2})}{2} = \tfrac{5}{4} X </tex>, т.е. больше, чем сейчас. Значит обмен выгоден. Однако обмен не может быть выгоден обоим игрокам. Где в их рассуждениях кроется ошибка?

В данном рассуждении ошибка кроется в предположении о том, что в другом конверте может ''равновероятно'' находится <texdpi="150"> 2X </tex> или <texdpi="150"> X \over 2</tex>. В действительности этого не может быть.

Предположим от противного, что существует вероятностное распределение <texdpi="150">p(x)</tex>, определенное на степенях двойки так, что <texdpi="150">p(2^{x_1})</tex> - вероятность того, что в конвертах будут записаны <texdpi="150">2^{x_1}</tex> и <texdpi="150">2^{x_1 + 1}</tex>, причем значения этой функции на соседних степенях равны.Тогда значения этой функции вообще говоря должны быть равны на всех степенях, т.е. <texdpi="150">p(x)</tex> постоянна. Но <texdpi="150">\displaystyle \sum_{i=1}^\infty p(2^i) = 1</tex> (т.к это вероятностное распределение) - противоречие.