689
правок
Изменения
м
{{TODO|t=отсутствует определение базы окрестностей (но у нас было определение базы в параграфе про МП, так что тут все понятно)}}
[[Хаусдорфово]] ТВП нормируемо тогда и только тогда, когда у нуля есть ограниченная выпуклая окрестность.
Нет описания правки
<tex> A </tex> '''ограничено''', если <tex> \forall U(0)\ \exists \lambda > 0: A \subset \lambda U(0) </tex> (то есть, его поглощает любая окрестность нуля).
}}
Существует стандартная конструкция, которая позволяет уравновесить любое множество.
В прямую сторону:
# Рассмотрим отображение <tex> x \mapsto f, f(x + x_0 ) = x</tex>, то есть , сдвиг на <tex> x_0 </tex>. Это отображение взаимно однозначнои непрерывно (так как оно может быть определено через непрерывную по определению ТВП операцию сложения, следовательно непрерывно<tex>f(x) = x - x_0 </tex>). Прообраз открытого множества при непрерывном отображении открыт, то есть , если <tex> G \in \tau </tex> (открыто), то <tex> f^{-1}(G) = G + x_0 </tex> также открыто. То есть получилиПолучили, что векторная топология инвариантна относительно сдвигов.
# Установим, что можно создать базу окрестностей нуля, составляющую из радиально-уравновешенных множеств. <tex> \lambda x \to 0, x \to 0, \lambda \to 0 </tex>, то есть <tex> \forall U(0) \exists \delta > 0, W(0): |\lambda| \le \delta </tex> <tex> x \in W(0) \implies \lambda x \in U(0) \iff \lambda W(0) \subset U(0) \implies \bigcup\limits_{|\lambda| \le \delta} \lambda W(0) \subset U(0) </tex>, где <tex> \lambda W(0) </tex> — уравновешено и окрестность 0.
#: Для радиальности: <tex> \forall x_0 \in X, \lambda \to 0, \lambda x_0 \to 0 x_0 = 0 \implies \forall U(0) \exists \delta > 0: |\lambda| \le \delta, \lambda x_0 \in U(0) </tex>. <tex> x_0 \in {1 \over \lambda} U(0), |\lambda| \le \delta, \left| {1 \over \lambda} \right| \ge {1 \over \delta} </tex>, то есть <tex> U(0) </tex> поглощает <tex> x_0 </tex>.
|author=Колмогоров
|statement=
|proof=
В прямую сторону: если ТВП нормируемо, то <tex> V_r = \{ x : \| x \| \le 1 \} </tex>
{{TODO|t= далее я что-то не особенно осознал, что происходит. На всякий случай — доказательство вроде есть в Люстернике-Соболеве, стр 94, правда оно несколько другое вроде}}
В обратную: пусть <tex> V </tex> — ограниченная выпуклая окрестность нуля. <tex> W </tex> — радиальная уравновешенная) окрестность 0: <tex> W \subset V </tex>, <tex> \mathrm{Cov} W </tex> — выпуклая оболочка множества <tex> W </tex>, <tex> V </tex> — выпуклая, <tex> \mathrm{Cov} W \subset V </tex>, <tex> \mathrm{Cov} W </tex> — радиальное уравновешенное множество, так как <tex> W </tex> — такое же. Из ограниченности <tex> V </tex> следует ограниченность <tex> \mathrm{Cov} W </tex>, то есть, мы построили <tex> V^* = \mathrm{Cov} W </tex> — радиальную уравновешенную выпуклую окрестность <tex> 0 </tex>.
