1302
правки
Изменения
→Произведение компактных операторов
|proof =
{{TODO | t = доказательство }}}}
=== Следствие ===
Если <tex> B </tex> — компактный оператор, то он не может быть непрерывно обратимым.
От противного: пусть <tex> \exists B^{-1} \implies I = B \cdot B^{-1} </tex> — компактный по доказанному утверждению,
что невозможно в бесконечномерном случае.
{{Утверждение
|statement =
<tex> A </tex> — компактный <tex> \implies R(A) </tex> — сепарабельно, то есть в <tex> R(A) </tex> существует всюду плотное подмножество.
|proof =
<tex> X = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} V_n, \quad V_n = { x \mid \| x \| < b } </tex> — счетное объединение шаров.
<tex> R(A) = A (X) = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A(V_n) </tex>
<tex> A(V_n) </tex> — относительно компактно.
По теореме Хаусдорфа {{TODO | t = добавить ссылку на теорему Хаусдорфа}} любое относительно компактное множество сепарабельно.
Счетное объединение сепарабельных множеств — сепарабельно, значит <tex> R(A) </tex> — сепарабельно.
}}
