40
правок
Изменения
Нет описания правки
Если сходится <tex>\sum\limits_{n=0}^{\infty} (\frac{1}{\lambda} A)^n</tex>, то он и будет совпадать с <tex>(I - \frac{1}{\lambda} A)^{-1}</tex> (показывали это в [[Теорема_Банаха_об_обратном_операторе | теореме Банаха для I - C]])
Так как пространство банахово, операторный ряд сходится если сходится соответствующий рад из норм: <tex>\|\sum\limits_{n=0}^{\infty} (\frac1\lambda A)^n \| \le \sum\limits_{n=0}^{\infty} |\frac1\lambda|^n \|A^n\|^n</tex>, по радикальному признаку Коши, последний ряд сходится, если <tex>\sqrt[n]{|\frac1\lambda|^n \|A^n\|^n} = |\frac1\lambda| \sqrt[n]{\|A^n\|^n} \to |\frac1\lambda| r_\sigma < 1</tex>.
Таким образом, при <tex>r_\sigma < |\lambda|</tex>, обратный оператор к <tex>I - \frac{1}{\lambda}A</tex> существует, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>. Значит, спектр полностью содержится во множестве, в котором <tex>r_\sigma \ge |\lambda|</tex>.
