Изменения

Рассмотрим <tex>f \in (\operatorname{Ker}A )^\perp</tex>, если <tex>Ax=0</tex>, то <tex>f(x)=0</tex>. Теперь надо показать, что <tex>f \in R(A^*)</tex>, т.е. проверить, что <tex>f = \varphi A^*</tex>.  Применим теорему Хана-Банаха: <tex>R(A)</tex> замкнуто, поэтому если найдем <tex>\varphi</tex>, заданный на <tex>R(A)</tex>, сможем продолжить его на все <tex>F</tex>. Если для <tex>y \in R(A)</tex>, <tex>y = Ax</tex> и <tex>y = Ax'</tex>, то <tex>A(x - x') = 0</tex>, то есть <tex>x - x' \in \operatorname{Ker} A</tex>, то есть <tex>f(x - x') = 0</tex>, и <tex>f(x) = f(x')</tex>, то есть значение функционала не зависит от того, какой конкретно <tex>x</tex>, что <tex>Ax = y</tex>, был выбран. <tex>\varphi(y) = f(x)</tex>, <tex>y = Ax</tex> — линейный функционал, <tex>f = \varphi A</tex>. Осталось проверить ограниченность <tex>\varphi</tex> на <tex>R(A)</tex>. По [[теореме Банаха об обратном операторе]]:  {{TODO | t = Далее творится какой-то ад с использованием т. Х-Б, кто прошаренный в матане, напишите пожалуйста, особенно про факторизацию}}