689
правок
Изменения
м
Покажем, что между {{Утверждение|statement=Между <tex> E </tex> и <tex> E^{**} </tex> существует так называемый '''естественный изоморфизм''', сохраняющий норму точки.|proof=
→Естественное вложение
== Естественное вложение ==
Введем <tex> F_x </tex> следующим образом: <tex>\forall x \in E : F_x (f) = f(x), f \in E^{*} </tex>.
<tex> | F_x(f) | = |f(x)| \le \| f \| \| x \| </tex>, откуда <tex> \| F_x \| \le \| x \| </tex>.
С другой стороны, по теореме Хана-Банаха, для любого <tex> \forall x_0 \in E, \exists </tex> существует <tex> f_0 \in E^* </tex>, такое, что выполняются два условия:
# <tex> f_0(x_0) = \| x_0 \| </tex>
# <tex> \| f_0 \| = 1 </tex>.
Значит, получившееся преобразование <tex> x \mapsto F_x </tex> — изометрия, <tex> \| x \| = \| F_x \| </tex>, получили '''естественное вложение''' <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.
}}
<tex> E </tex> называется '''рефлексивным''', если <tex> E </tex> будет совпадать с <tex> E^{**} </tex> при таком отображении.
