1302
правки
Изменения
Нет описания правки
Ставим задачу: <tex>y</tex> дано, когда <tex>Tx=y</tex> разрешимо относительно <tex>x</tex>?
<tex>y = \lambda x - A x</tex> — операторные уравнения второго рода (явно выделен <tex>I</tex>). Уравнения первого рода (<tex>y=Bx</tex>) решаются гораздо сложней. Объясняется это достаточно просто: <tex>y = \lambda x - A x = \lambda (x - \frac 1 \lambda A)x</tex>. Если <tex>\frac 1 {|\lambda|} {\|A\|} < 1 </tex>, то, по теореме Банаха, <tex>I - \frac 1 \lambda A</tex> непрерывно обратим, следовательно, при достаточно больших <tex>\lambda</tex>, <tex>y=\lambda x - A x</tex> разрешимо при любой левой части, причём решения <tex>x</tex> будут непрерывно зависеть от <tex>y</tex>. Интересна ситуация при <tex>|\lambda| < \leq \|A\|</tex>. В случае компактного A ответ даёт теория Шаудера. Будем считать <tex> \lambda = 1 </tex>
{{Утверждение
Допустим, что <tex>\dim \operatorname{Ker}T = + \infty,~\overline W = \overline V \cap Y \Rightarrow \overline W = A \overline W</tex>. Так как <tex>A</tex> — компактный, <tex>\overline W</tex> — компакт в <tex>Y</tex>, но в бесконечномерном пространстве шар (<tex>\overline W</tex> будет шаром в подпространстве <tex>Y</tex>) не может быть компактом, получаем противоречие. Значит, если <tex>A</tex> — компактный, то <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>.
}}
{{Теорема
|statement=
