Изменения
Нет описания правки
Заметим, что <tex> z = T(x_{n+p}) + Ax_n </tex>.
<tex> T^{mn+p-1}(z) = T^{mn+p}(x_{n+p}) + T^{mn+p-1}(Ax_n) </tex>.
Здесь первое слагаемое равно нулю по определению последовательности <tex> x_n </tex>. Второе же, так как операторы <tex> T^{mn+p-1} </tex> и <tex> A </tex> коммутируют, равно <tex> A(T^{mn+p-1}(x_n)) = A(0) = 0 </tex>, и <tex> z \in \operatorname{Ker}(T^{mn+p-1}) </tex>.
Но раз <tex> z \in M_{n+p-1} </tex>, то <tex> \|x_{n+p} - z\| \ge \frac12 </tex>, и <tex> \|y_{n+p} - y_{n}\| \ge \frac12 </tex>, чего не может быть, поскольку в этом случае мы не сможем выделить из <tex> y_n </tex> сходящуюся подпоследовательность. Поэтому наше предположение неверно, теорема доказана.
