Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Линейный оператор

3178 байт добавлено, 14:31, 16 июня 2019
м
Интегральный оператор: fixed integral index
==Линейный оператор==
{{Определение
|definition=Пусть <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> {{- --}} линейные пространства над полем <tex>F</tex>. Отображение <tex>\mathcal{A:} \colon X \rightarrow to Y</tex> называется линейным оператором, если <tex>\forall x_1,x_2 \in X</tex>, <tex>\forall \lambda \in F</tex>:* <tex>\mathcal{A}(x_1+x_2)=\mathcal{A}(x_1)+\mathcal{A}(x_2)</tex>* <tex>\mathcal{A}(\lambda \cdot x_1) = \lambda \cdot \mathcal{A}(x_1)</tex>
}}
NB: Гоморфизм
{{Определение
|definition=л.о. Линейный оператор <tex>\mathcal{A:} \colon X \rightarrow to X </tex> называется автоморфизмом(или гомоморфизмом).
}}
NB: {{Nota Bene|notabene=<tex>\mathcal{A}(x) = Ax\mathcal{A}x</tex>}}
{{Определение
|definition=Пусть <tex>\mathcal{A},\mathcal{B:}\colon X \rightarrow to Y</tex>, <br><tex>\mathcal{A}=\mathcal{B}</tex>, если <tex>\forall x \in X:Ax \mathcal{A}x = Bx\mathcal{B}x</tex>
}}
{{Определение
|definition=<tex>\mathcal{O}</tex> называется нулевым оператором, если <tex>\forall x , y \in X:Ox\mathcal{O}x=Oy\mathcal{O}y</tex>
}}
 
== Примеры ==
=== Тождественный оператор ===
<tex>I:\colon X \rightarrow to X</tex> по формуле <tex>Ix=x</tex> 
=== Линейный оператор проектирования ===
<tex>X=L1 L_1 + L2L_2</tex> <tex>\mathcal{P}_{L_1}^{||L_2} \colon X \to L_1</tex>
<tex>P_\mathcal{P}_{L_1L_2}^{||L_2L1}:\colon X \rightarrow L_1to L_2</tex>
NB: <tex>P_\mathcal{L_2P}_{L_{1,2}}^{||L1L_{2,1}:}\colon X \to X</tex> (<tex>L_1</tex> и <tex>L_2</tex> {{---}} п.п. <tex>L_2X</tex>)
NB: <tex>P_{L_{1,2}}^{||L_{2,1}}:X \rightarrow X</tex> (<tex>L_1</tex> и <tex>L_2</tex> - п.п. <tex>X</tex>)
=== Оператор дифференцирования ===
Пусть <tex>X=P_n; </tex>  <tex>\mathcal{D:} \colon P_n \rightarrow to P_{n-1}</tex>по формуле <tex>(Dp\mathcal{D}p)(t)={dp(t) \over dt} = p^{'}(t)</tex> 
=== Интегральный оператор ===
Пусть <tex>X=C(a,b); K(s,t)</tex> - непрерывная функция; <tex> s \in (a,b); t \in (a,b)</tex> <tex>(\mathcal{B}f)(s) = \int\limits_a^b K(s,t)\cdot f(t) \cdot dt</tex> <tex>s \in mathcal{B} \colon C(a,b) \to C(a,b)</tex> == Матрица линейного оператора ==Пусть <tex>\mathcal{A} \colon X \to Y</tex> Пусть п.п. <tex>X \leftrightarrow \{e_k\}_{k=1}^n, \dim X=n</tex> Пусть п.п. <tex>Y \leftrightarrow \{h_i\}_{i=1}^m, \dim Y = m</tex> <tex>\underset{1\leq k\leq n}{\mathcal{A}e_k}=\displaystyle \sum_{i=1}^m \alpha_k^i \cdot h_i \Rightarrow A=||\alpha_k^i||</tex>, где <tex>1\leq i\leq m, 1 \leq k \leq n</tex> <tex>A=\begin{pmatrix}\alpha_1^1 & \cdots & \alpha_n^1 \\\alpha_1^2 & \cdots & \alpha_n^2 \\\cdots & \cdots & \cdots \\\alpha_1^m & \cdots & \alpha_n^m \\\end{pmatrix}</tex> {{Nota Bene|notabene=Обратите внимание, что <tex>\mathcal{A}</tex> означает оператор, а <tex>A</tex> {{---}} матрицу этого оператора.}} == Примеры ===== Нулевой оператор ===<tex>\mathcal{O}_{[m \times n]}=\begin{pmatrix}0 & \cdots & 0 \\\cdots & \cdots & \cdots \\0 & \cdots & 0 \\\end{pmatrix}</tex> === Оператор дифференцирования ===<tex>\mathcal{D} \colon P_n \to P_{n-1}</tex> <tex>\{1,t ,t^2,...,t^n\}</tex> - базис <tex>P_n</tex> <tex>D=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\0 & 0 & 2 & 0 & \cdots & 0 \\0 & 0 & 0 & 3 &\cdots & 0 \\\cdots & \cdots & \cdots & \cdots &\cdots & \cdots \\0 & 0 & 0 & 0 &\cdots & n \\\end{pmatrix}</tex> ==Теорема об эквивалентности задания линейного оператора=={{Теорема|statement=Задание Л.О. <tex>\mathcal{A}: X \rightarrow Y \Leftrightarrow </tex> заданию его матрицы в паре базисов <tex>\{x_i\}_{i=1}^{n}</tex> и <tex>\{h_k\in }_{k=1}^{m}</tex>|proof=<tex> \Rightarrow \mathcal{A} = \sum\limits_{k=1}^{m} \alpha_{k}^{i}h_k </tex> (aединственным образом) <tex> \Rightarrow A=||\alpha_k^i||</tex>, где <tex>1\leq i\leq n,b1 \leq k \leq m</tex> <tex> \Leftarrow x= \sum\limits_{i=1}^{n} \xi^i e_i </tex> (единственным образом) Рассмотрим <tex>\mathcal{A}x= \mathcal{A}(\sum\limits_{i=1}^{n} \xi^ie_i)= \sum\limits_{i=1}^{n} \xi^i \mathcal{A}e_i= \sum\limits_{i=1}^{n} \xi^i \sum\limits_{k=1}^{m} \alpha_{i}^{k}h_k=\sum\limits_{k=1}^{m}(\sum\limits_{i=1}^{n} \alpha_{i}^{k} \xi^i)h_k </tex>(1)
<tex>\mathcal{A}x=y=\sum\limits_{k=1}^{m} \eta^kh_k </tex> (2) из (Bf1)и (s2) получим, что <tex>\eta^k= integral_a\sum\limits_{i=1}^{n} \alpha_{i}^b K(s,t) {k} \xi^i \Leftrightarrow A \cdot fX= Y</tex> (tумножение матриц) , тогда <tex>\ cdot dtmathcal{A}x=y</tex> }}
<tex>B[[Категория:C(a,b) \rightarrow C(a,b)</tex>Алгебра и геометрия 1 курс]][[Категория: Линейные операторы]]
390
правок

Навигация