Изменения

'''спектром''' <tex>\sigma</tex> ЛО называется множество всех его '''собственных значений'''<br><tex>\sigma (A) = \sigma _A = \{ \lambda _i \}</tex>}}  // здесь мог быть пример {{Теорема|id=th1. |author=|about=|statement='''собственные векторы''', отвечающие различным '''собственным значениям''' образуют ЛНЗ набор|proof=1)база: рассмотрим <tex>\lambda \leftrightarrow x1 \ne 0_x \{x1\} - ЛНЗ</tex> 2) <tex>\{x1,x2, ... , x_{m-1}\} \leftrightarrow \{\lambda _1, ... \lambda _ m-1 \}</tex> - ЛНЗ. Рассмотрим <tex>\{x1, ..., x_m \} </tex>- доказать что ЛНЗ. <tex>\sum\limits_{k=1}^m \alpha^i x_i = 0 </tex> <tex>A( \sum\limits_{k=1}^m \alpha_i x_i) = \sum\limits_{k=1}^m \alpha_i Ax_i = \sum\limits_{k=1}^m \alpha_i \lambda_i x_i = 0_x</tex> (1) <tex>\lambda_m( \sum\limits_{k=1}^m \alpha_i x_i) = \sum\limits_{k=1}^m \alpha_i \lambda_m x_i = 0_x</tex> (2) (1) - (2) : <tex>\alpha_1(\lambda_1 - \lambda_m)x_1 + ... + \alpha_m-1(\lambda_m-1 - \lambda_m)x_m-1 + 0_x = 0_x</tex> по предположению индукции <tex>\{x1,x2, ... , x_{m-1}\}</tex> - ЛНЗ <tex>\Rightarrow \alpha_1 (\lambda_1-\lambda_m)=0 ... \alpha_{m-1} (\lambda_{m-1} - \lambda_{m}) =0 </tex>, при этом все <tex>(\lambda_{i-1}-\lambda_m) \ne 0</tex> <tex>\Rightarrow </tex> все <tex>\alpha_i = 0</tex> <tex>\Rightarrow \alpha_m x_m = 0_x </tex>, где <tex>x_m \ne 0</tex> те набор ЛНЗ}} {{Лемма|id=lemma2. |author=Автор леммы (необязательно)|about=О чем лемма (необязательно)|statement=утверждение|proof=доказательство (необязательно)