137
правок
Изменения
→Примеры
{{Определение
|definition='''Характеристический полином линейного оператора''': <br>
Пусть <tex>\mathcal{A}: X \to X</tex> {{- --}} линейный оператор.<br>
Рассмотрим <tex>{\mathcal{X}}_{\mathcal{A}}(\lambda) = det(\mathcal{A} - \lambda I) = det(A - \lambda E)</tex><br>
<tex>{\mathcal{X}}_{\mathcal{A}}(\lambda)</tex> называется характеристическим полиномом линейного оператора <tex>\mathcal{A}</tex>
{{Определение
|definition=<tex>L</tex> называется инвариантным подпространством линейного оператора <tex>{\mathcal{A}}: X \to X</tex>, если <tex>\forall x \in L: \mathcal{A}x \in L</tex>
(т.е. <tex>{\mathcal{A}}(L) \subset L</tex>)
}}
=== Примеры ===
# Пусть есть <tex>X</tex>, <tex>\{0_x\}</tex> — инвариантное подпространство для <tex>\forall \mathcal{A} : X \to X</tex><br># Пусть <tex dpi = 145>{\{e_i\}}_{i=1}^n</tex> — базис <tex>X</tex>; пусть <tex>\mathcal{A} \leftrightarrow A = \begin{pmatrix} {\alphalambda}_{1} & \cdots 0 & \cdots & \cdots 0 \\\vdots 0 & {\alphalambda}_{2} & \cdots & \cdots 0 \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots 0 \\\cdots 0 & \cdots 0 & \cdots & {\alphalambda}_{n} \\
\end{pmatrix}
</tex> <br> Тогда: <tex>L_i =</tex> л.о. <tex>\{e_i\}</tex> - инв. п.п. <tex>\mathcal{A}</tex>; <tex>\mathcal{A}e_i = \lambda_i e_i \in L_i</tex>; <tex>\dim L_i = 1</tex><br># <tex>X = L_1 + \dotplus L_2;\ \mathcal{A} = \mathcal{P}_{L_1}^{||L_2}: X \to X</tex> <br><br> <tex>A = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\
0 & 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix} L_1, L_2 - </tex>инв. п.п. <tex>L_1 = </tex> лин.об <tex>\{e_1,...,e_k\}, L_2 = </tex> лин.об <tex>\{e_{k+1},...,e_n\}</tex>
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
