__TOC__==Ортогональность в евклидовом пространстве=={{Определение|definition=[http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B5%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D0%B8%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE Евклидово пространство] над комплексным полем <tex> \mathbb{C} </tex> называется '''унитарным пространством'''}} {{Определение|definition=Расстояние между двумя элементами унитарного пространства: <tex>dist(x;y)= \Vert x-y \Vert </tex>}} {{Определение|definition=Пусть <tex>x,y \in E</tex>. Говорят, что <tex>x \bot y </tex>, если <tex>\left \langle x;y \right \rangle_G=G(x,y)=0</tex>}} {{Лемма|statement=Пусть <tex>x \bot x_1, x_2...x_k</tex>. Тогда <tex> x \bot \forall </tex> ЛК <tex> \sum\limits_{i=1}^{k} \alpha^ix_i</tex>, то есть <tex>x \bot x_i, \ (i=1..k)</tex>|proof=<tex> \left \langle \sum\limits_{i=1}^{k} \alpha^ix_i;x \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^{k} \alpha^i \left \langle x_i;x \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^{k} \alpha^i \overline{\left \langle x;x_i \right \rangle}=0 </tex>}} {{Определение|definition=Пусть <tex>L - </tex> пп унитарного лп <tex>E</tex>, говорят, что <tex>x \bot L </tex>, если <tex>x \bot \forall y \in L </tex>}} {{Определение|definition=<tex>M=\{</tex> все <tex>x \in E: \ x \bot L \}</tex> называется ортогональным дополнением к <tex>L</tex> в <tex>E</tex>, обозначается <tex>M=L^ \bot </tex>}} {{Теорема|statement=<tex> \{x_i\}_{i=1}^{k}</tex> и <tex>x_i \bot x_j (i \ne j)</tex>, тогда <tex> \{x_i\}_{i=1}^{k} - </tex> ЛНЗ|proof=Предположим, что <tex> \sum\limits_{i=1}^{k} \alpha^ix_i=0_E \Rightarrow \alpha^1=...= \alpha_k=0</tex> (доказать).<tex>\left \langle \sum\limits_{i=1}^{k} \alpha^ix_i;x_j \right \rangle = \left \langle 0_E;x_j \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^{k} \alpha^i \left \langle x_i;x_j \right \rangle=0</tex> 1) <tex>i \ne j \Rightarrow \left \langle x_i;x_j \right \rangle=0 </tex> 2) <tex>i=j \Rightarrow \left \langle x_i;x_j \right \rangle \ne 0 \Rightarrow \alpha^j=0</tex> }}NB: <tex>k \leqslant n =dim E</tex> {{Теорема|statement=Теорема Пифагора: пусть <tex>\{x_i\}_{i=1}^{k}</tex> и <tex>x_i \bot x_j (i \ne j)</tex>, тогда <tex>\Vert \sum\limits_{i=1}^{k} x_i \Vert^2= \sum\limits_{i=1}^{k} \Vert x_i \Vert^2 </tex>|proof= <tex>\Vert \sum\limits_{i=1}^{k} x_i \Vert^2= \left \langle \sum\limits_{i=1}^{k} x_i;\sum\limits_{j=1}^{k} x_j \right \rangle=\sum\limits_{i,j=1}^{k} \left \langle x_i;x_j \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^{k} \left \langle x_i;x_i \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^{k} \Vert x_i \Vert^2 </tex>}}
==Ортогональный и ортонормированный базис==
{{Определение
