Изменения
→Свойства
|neat =
|definition=
Пусть <tex>\mathcal{A}:\colon X \to X</tex> - линейный оператор (ЛО)<br> <tex>x\ne 0_X0_x</tex> называется '''собственным вектором''' <tex>\mathcal{A}</tex>, если <tex>x \in L</tex>, где <tex>L</tex> {{- --}} [[Инвариантные подпространства | инвариантное подпространство]] <tex>\mathcal{A}</tex> и <tex>\dim L = 1</tex>
}}
|neat =
|definition=
Пусть <tex>\mathcal{A}:\colon X \to X</tex> <br> <tex>x\ne 0_X</tex> называется '''собственным вектором''' <tex>\mathcal{A}</tex>, если существует <tex>\lambda \in F : \colon \mathcal{A}x = \lambda x</tex>
}}
Предыдущие 2 определения эквивалентны.
|proof=
<math> (1) \Rightarrow (2) : \colon x \in L, \dim L=1 \Rightarrow \mathcal{A}x \in L \ (</math>т. к. <math>x \ne 0_X \Rightarrow</math> базис <math>L = \{x\}) \Rightarrow \mathcal{A}x=\lambda x</math> (единственным образом) <br><tex> (1) \Leftarrow (2) : \colon \exists \lambda: \mathcal{A}x = \lambda x \Rightarrow x \in</tex> одномерному подпространству <tex>L</tex>, где <tex>L =</tex> линейная оболочка <tex>\{x\}, \mathcal{A}x = \lambda x \in L</tex>
}}
|proof=
1) База: рассмотрим <tex>\lambda \leftrightarrow x_1 \ne 0_x\ \{x_1\}</tex> - ЛНЗ набор.<br>
2) <tex>\{x_1,x_2, ... , x_{m-1}\} \leftrightarrow \{\lambda _1, ... \lambda _ {m-1 } \}</tex> - ЛНЗ.
Рассмотрим <tex>\{x_1, ..., x_m \} </tex>- докажем, что тоже ЛНЗ.
