174
правки
Изменения
Нет описания правки
==Линейный оператор==
{{Определение
|definition=Пусть <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> {{-- -}} линейные пространства над полем <tex>F</tex>. Отображение <tex>\mathcal{A}:\colon X \mapsto to Y</tex> называется линейным оператором, если <tex>\forall x_1,x_2 \in X</tex>, <tex>\forall \lambda \in F</tex>:
* <tex>\mathcal{A}(x_1+x_2)=\mathcal{A}(x_1)+\mathcal{A}(x_2)</tex>
* <tex>\mathcal{A}(\lambda \cdot x_1) = \lambda \cdot \mathcal{A}(x_1)</tex>
{{Определение
|definition=Линейный оператор <tex>\mathcal{A}:\colon X \mapsto to X</tex> называется автоморфизмом (или гомоморфизмом).
}}
{{Nota Bene|notabene=<tex>\mathcal{A}(x) = \mathcal{A}x</tex>}}
{{Определение
|definition=Пусть <tex>\mathcal{A},\mathcal{B}:\colon X \mapsto to Y</tex>, <br><tex>\mathcal{A}=\mathcal{B}</tex>, если <tex>\forall x \in X:\mathcal{A}x = \mathcal{B}x</tex>
}}
{{Определение
|definition=<tex>\mathcal{O}</tex> называется нулевым оператором, если <tex>\forall x, y \in X:Ox\mathcal{O}x=Oy0_y</tex>
}}
== Примеры ==
=== Тождественный оператор ===
<tex>I:\colon X \mapsto to X</tex> по формуле <tex>Ix=x</tex>
=== Линейный оператор проектирования ===
<tex>X=L_1 + L_2</tex>
<tex>P_\mathcal{P}_{L_1}^{||L_2}:\colon X \mapsto to L_1</tex>
<tex>P_\mathcal{P}_{L_2}^{||L1}:\colon X \mapsto to L_2</tex>
NB: <tex>P_\mathcal{P}_{L_{1,2}}^{||L_{2,1}}:\colon X \mapsto to X</tex> (<tex>L_1</tex> и <tex>L_2</tex> {{- --}} п.п. <tex>X</tex>)
=== Оператор дифференцирования ===
Пусть <tex>X=P_n; </tex> <tex>\mathcal{D:} \colon P_n \rightarrow to P_{n-1}</tex>по формуле <tex>(Dp\mathcal{D}p)(t)={dp(t) \over dt} = p^{'}(t)</tex>
=== Интегральный оператор ===
Пусть <tex>X = C(a,b); K(s,t); s \in (a,b); t \in (a,b)</tex>
<tex>(Bf\mathcal{B}f)(s) = \int_a^b K(s,t) \cdot f(t) \cdot dt</tex>
<tex>\mathcal{B : } \colon C(a,b) \rightarrow to C(a,b)</tex>
== Матрица линейного оператора ==
Пусть <tex>\mathcal{A}:\colon X \mapsto to Y</tex>
Пусть п.п. <tex>X \leftrightarrow \{e_k\}_{k=1}^n, \dim X=n</tex>
=== Нулевой оператор ===
<tex>
\begin{pmatrix}
0 & \cdots & 0 \\
=== Оператор дифференцирования ===
<tex>\mathcal{D:} \colon P_n \rightarrow to P_{n-1}</tex>
<tex>\{1,t,t^2,...,t^n\}</tex> - базис <tex>P_n</tex>
