Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Теорема Хана-Банаха

61 байт убрано, 14:49, 14 июня 2013
м
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} линейное пространство. Функционал <tex>f: X \rightarrow to \mathbb R</tex> подчинен полунорме <tex>p</tex> на <tex>X</tex>, если <tex>\forall y \in Y |f(y)| \le p(y)</tex>
}}
Хан, Банах
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} линейное пространство, <tex>p</tex> {{---}} полунорма на нем, <tex>Y</tex> {{---}} линейное подмножество <tex>X</tex>, <tex>f: Y \rightarrow to \mathbb R</tex> удовлетворяет условию подчиненности <tex>p</tex>.Тогда существует линейный функционал <tex>g: X \rightarrow to \mathbb R</tex> такой, что:
# <tex>g|_Y = f</tex>
# <tex>x \in X \Rightarrow to |g(x)| \le p(x)</tex>
}}
случай нормированных пространств
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} линейное нормированное пространство, <tex>Y</tex> {{---}} подпространство <tex>X</tex>, <tex>f: Y \rightarrow to \mathbb R</tex> {{---}} линейный ограниченный функционал.Тогда существует линейный ограниченный функционал <tex>g: X \rightarrow to \mathbb R</tex> такой, что <tex>g|_Y = f</tex>, <tex>\|g\| = \|f\|</tex>.
|proof=
Доказательство есть в Люстренике, Соболеве, глава про линейные функционалы, раздел про теорему Хана-Банаха в ЛНП. В такой формулировке не нужна сепарабельность, в том числе и в следствиях.
{{Теорема
|about=
о продолжении функционала
|author=
Хан, Банах
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} [[Метрические_пространства#defdense|сепарабельное]] нормированное пространство, <tex>Y</tex> {{---}} линейное подмножество <tex>X</tex>, <tex>f: Y \rightarrow to \mathbb R</tex> {{---}} линейный ограниченный функционал.Тогда существует линейный ограниченный функционал <tex>g: X \rightarrow to \mathbb R</tex> такой, что <tex>g|_Y = f</tex>, <tex>\|g\| = \|f\|</tex>.
|proof=
Доказательство разбиваем на две части.
<tex>L</tex> {{---}} линейное подпространство <tex>X</tex>, <tex>Y \subset L</tex>.
Продолжим <tex>f</tex> с сохранением нормы на <tex>L</tex>. Пусть <tex>g</tex> {{---}} искомый линейный функционал.
<tex>g(y + tz) = g(y) + tg(z) = f(y) + tg(z)</tex>
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex>X</tex> - нормированное пространство. Тогда <tex>\forall x \in X \exists f: X \rightarrow to R:\ f(x) = \|x\|, \|f\| = 1</tex>.
|proof=
<tex>Y = \{tx, t \in \mathbb R\}</tex> {{---}} линейное подмножество в <tex>X</tex>.
<tex>f(tx) = t \|x\|</tex> - линейный функционал в <tex>Y</tex>. Очевидно, <tex>f</tex> удовлетворяет необходимым условиям.
1299
правок

Навигация