Изменения

N.B: <tex>p(A)=O \Leftrightarrow \forall x \in X:p(A)x = Ox \Leftrightarrow p(A)x = \{Ox\} \Leftrightarrow Im p(A) =\{Ox\} \Leftrightarrow \ker p(A) =X</tex>

Рассмотрим <tex>X \times X</tex> и <tex>\{I,A,A^2,...\}</tex>. <tex>dim X=n</tex> <tex>dim X \times X = n^2</tex>

Аннулирующие полиномы есть в природе.

<tex>\{I,A,A^2,...\}</tex> - набор ЛЗ <tex>\Rightarrow </tex> <tex>\exists \alpha_s: \displaystyle \sum_{s=0}^{n^2} \alpha_s \cdot A^2 = O</tex>

Рассмотрим <tex>p(\lambda)=\displaystyle \sum_{s=0}^{n2} \alpha_s \cdot \lambda^s</tex> - аннулирующий полином.

Множество всех аннулирующих полиномов данного автоморфизма образует идеал А в алгебре скалярных полиномов P.

I_A

Рассмотрим p(\lambda) \in I_A, p(\lambda) \in P \Rightarrow p(\lambda)q(\lambda) \in (I_A) (?)

<tex>S_A(p(\lambda)q(\lambda)) = p(A)q(A) = O \cdot q(A) = O</tex>, ч.т.д.