71
правка
Изменения
м
Нет описания правки
=== Доказательство алгоритма ===
Заметим, что поскольку мы сделали нашу перестановку в виде зацикленного списка, то мы можем рассматривать перебор все пар соседних в перестановке вершин, как сдвиг указателя на начало списка. Тогда будем сдвигать указатель на нашу перестановку так, чтобы она начиналась с рассматриваемой пары <tex>\mathrm{v}_i \mathrm{v}_{i+1}</tex>. Если теперь между первыми двумя вершинами есть ребро, то можем переходить к рассмотрению следующей пары, так как в этом случае мы ничего не делаем. Если же ребра нет, то докажем , что обязательно найдется вершина <tex> \mathrm{v}_j \in \mathbb{V} \setminus \{\mathrm{v}_1, \mathrm{v}_{2+1}\}</tex>, такая что <tex>\mathrm{v}_1 \mathrm{v}_j,\ \mathrm{v}_2 \mathrm{v}_{j+1} \in \mathbb{E} </tex>.
Пусть <tex>S=</tex> { <tex> i| \mathrm{e}_i = \mathrm{v}_1 \mathrm{v}_i \in \mathbb{E}</tex>}
<tex>\subset \{2, 3, ...,n-1\}</tex>.
Тогда <tex>S \cup T \subset \{2,3,...,n\}</tex>, откуда <tex>|S \cup T |< n</tex>. Но <tex>|S|+|T| = deg v_1 + deg v_2 >=n</tex> по условию [[Теорема Оре|теоремы Оре]] или [[Теорема Дирака|теоремы Дирака]], в зависимости от наших начальных условий. А значит <tex>S \cap T \ne \varnothing</tex>, следовательно искомая вершина обязательно найдется.
Поскольку каждый раз , когда у нас нет ребра между двумя обрабатываемыми вершинами , мы переворачиваем нашу последовательность так, чтобы после переворота <tex>\mathrm{v}_i, \mathrm{v}_{i+1}</tex> и <tex>\mathrm{v}_j, \mathrm{v}_{j+1}</tex> становились связанными ребром, то рассмотрев все пары вершин в последовательности, мы добьемся того, что любые две соседние пары вершин <tex>\mathrm{v}_i, \mathrm{v}_{i+1}</tex> будут связаны ребром, а это и значит что мы нашли цикл.
