Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Получение номера по объекту

7112 байт добавлено, 10 июнь
Исправил опечатку с $$
== Описание алгоритма ==
Номер данного [[Комбинаторные объекты|комбинаторного объекта]] равен количеству меньших в [[Лексикографический порядок|лексикографическом порядке]] комбинаторных объектов (нумерацию ведём с <tex>0</tex>). Все объекты меньшие данного можно разбить на непересекающиеся группы по длине совпадающего префикса. Тогда количество меньших объектов можно представить как сумму количеств объектов у которых префикс длины <tex>i</tex> совпадает, а <tex>i+1</tex> элемент лексикографически меньше <tex>(i+1)</tex>-го в данном объекте (<tex>i = 0..n-1</tex>). Следующий алгоритм вычисляет эту сумму:*<tex>\mathtt{numOfObject }</tex> {{---}} искомый номер комбинаторного объекта.,*<tex>\mathtt{a[1..n] }</tex> {{---}} данный комбинаторный обьект, состоящий из числовых представлений лексикографически упорядоченных элементов множества <tex>A</tex>.,*<tex>\mathtt{d[i][j] }</tex> {{--- (}} количество комбинаторных объектов с префиксом от <tex>1 </tex> до <tex>i-1</tex> равным данному и с <tex>i</tex>-м элементом равным <tex>j</tex>),
'''functionint''' NumOfObjectsFuncobject2num(a: '''list <A>''') :
numOfObject = 0
'''for''' i = 1 '''to''' n '''do''' '' <font color=green>// перебираем элементы комбинаторного объекта''</font> '''for''' j = 1 '''to''' a[i] - 1 '''do''' '' <font color=green>// перебираем элементы, которые в лексикографическом порядке меньше меньшие рассматриваемого'' </font> '''if''' элемент <tex>j </tex> можно поставить на <tex>i</tex>-e место '''then''' numOfObject += d[i][j]
'''return''' numOfObject
Сложность алгоритма {{---}} <tex>O(nk) </tex>, где <tex>k</tex> {{- --}} количество различных элементов, которые могут находиться в данном комбинаторном объекте. Для Например, для битового вектора <tex>k=2,</tex>: поскольку возможны только <tex>0 </tex> и <tex>1</tex>. Количества комбинаторных объектов с заданными префиксами считаются известными, и их подсчет в сложности не учитывается.
Приведем примеры способов получения номеров некоторых из комбинаторных объектов по данному объекту.
 
== Битовые вектора ==
Рассмотрим алгоритм получения номера <tex>i</tex> в лексикографическом порядке данного битового вектора размера <tex>n</tex>.
Всего существует <tex>2^n</tex> битовых векторов длины <tex>n</tex>.
На каждой позиции может стоять один из двух элементов независимо от того, какие элементы находятся в префиксе, поэтому поиск элементов меньше рассматриваемого можно упростить до проверки элемента на равенство <tex>1</tex>:
*<tex>\mathtt{bitvector[1..n]}</tex> {{---}} данный вектор,
*<tex>\mathtt{numOfBitvector}</tex> {{---}} искомый номер вектора,
 
'''int''' bitvector2num(bitvector: '''list<int>'''):
numOfBitvector = 0
'''for''' i = 1 '''to''' n
'''if''' bitvector[i] == 1
numOfBitvector += <tex>2^{n-i}</tex>
'''return''' numOfBitvector
 
Асимптотика алгоритма {{---}} <tex>O(n) </tex>.
== Перестановки ==
Рассмотрим алгоритм получения номера в лексикографическом порядке по данной перестановке размера <tex>n</tex>.,*P<tex>\mathtt{a[1..n] }</tex> {{---}} количество перестановок данного размера.данная перестановка,*a<tex>\mathtt{P[1..n] }</tex> {{---}} данная перестановка.количество перестановок данного размера,*<tex>\mathtt{was[1..n] }</tex> {{---}} использовали ли мы уже эту цифру в перестановке.,
'''functionint''' NumOfPermutationFuncpermutation2num(a: '''list <Aint>'''): numOfPermutation = 0 '''for''' i = 1 '''to''' n '''do''' '' <font color=green>// <tex>n </tex> {{--- }} количество элементов в перестановке''</font> '''for''' j = 1 '''to''' a[i] - 1 '''do''' '' <font color=green>// перебираем элементэлементы, лексикографически меньший меньшие нашего, который может которые могут стоять на <tex>i</tex>-м месте </font> '''if''' was[j] == ''false '' <font color=green>// если элемент <tex>j </tex> ранее не был использован</font> '''then''' numOfPermutation += P[n - i] '' <font color=green>// все перестановки с префиксом длиной <tex>i-1 </tex> равным нашему, и <tex>i</tex>-й элемент у которых </font> '' <font color=green>меньше нашего в лексикографическом порядке, идут раньше данной перестановки </font> was[a[i]] = ''true '' <font color=green>// <tex>i</tex>-й элемент использован </font>
'''return''' numOfPermutation
Данный алгоритм работает за Асимптотика алгоритма {{---}} <tex>O(n ^ 2) </tex> и <tex>O(n) </tex> для предподсчёта. == Сочетания ==Рассмотрим алгоритм получения номера в лексикографическом порядке данного сочетания из <tex>n</tex> по <tex>k</tex>. Как известно, количество сочетаний из <tex>n</tex> по <tex>k</tex> обозначается как <tex dpi=140>\binom{n}{k}</tex>. Тогда число сочетаний, в которых на позиции <tex>1</tex> стоит значение <tex>val_1</tex>, равно <tex dpi=140>\sum\limits^{val_1-1}_{i=1} {\binom{n-i}{k-1}}</tex>; число сочетаний, в которых на позиции <tex>2</tex> стоит значение <tex>val_2</tex>, равно <tex dpi=140>\sum\limits^{val_2-1}_{i=val_1+1} {\binom{n-i}{k-2}}</tex>. Аналогично продолжаем по следующим позициям:*<tex>\mathtt{numOfChoose}</tex> {{---}} искомый номер сочетания,*<tex>\mathtt{C[n][k]}</tex> {{---}} количество сочетаний из <tex>n</tex> по <tex>k</tex>, <tex>\mathtt{C[n][0] = 1}</tex>,*<tex>\mathtt{choose[1..K]}</tex> {{---}} данное сочетание, состоящее из <tex>K</tex> чисел от <tex>1</tex> до <tex>N</tex>, из технических соображений припишем ноль в начало сочетания: <tex>\mathtt{choose[0] = 0}</tex>,  '''int''' choose2num(choose: '''list<int>'''): numOfChoose = 0 '''for''' i = 1 '''to''' K '''for''' j = choose[i - 1] + 1 '''to''' choose[i] - 1 numOfChoose += C[N - j][K - i] '''return''' numOfChoose Асимптотика алгоритма {{---}} <tex>O(K \cdot N) </tex> и <tex>O(K \cdot N) </tex> для предподсчёта. == Разбиение на слагаемые ==Рассмотрим алгоритм получения номера, в лексикографическом порядке, по данному разбиению на слагаемые числа <tex>N</tex>. Нужно помнить о том, что разбиения, отличающиеся только порядком слагаемых, считаются одинаковыми. Из всех разбиений, получаемых перестановками слагаемых, выберем то, где слагаемые упорядочены лексикографически, и будем строить его.  *<tex>\mathtt{numOfPart}</tex> {{---}} искомый номер разбиения*<tex>\mathtt{last}</tex> {{---}} последнее поставленное число в разбиении.*<tex>\mathtt{sum}</tex> {{---}} сумма, которую мы уже поставили.*<tex>\mathtt{part[1 \ldots N]}</tex> {{---}} данное разбиение*<tex>\mathtt{d[i][j]}</tex> {{---}} количество разбиений числа <tex>i</tex> на слагаемые, где каждое слагаемое <tex>\geqslant j</tex>.
== Битовые вектора ==Рассмотрим алгоритм получения номера Пересчитывать <tex>\mathtt{d[i][j]}</tex> в лексикографическом порядке данного битового вектора размера будем по возрастанию <tex>ni</tex>.Количество битовых векторов длины , а при равенстве <tex>ni</tex> {{---}} по убыванию <tex>2^nj</tex>.На каждой позиции Разбиение числа, в котором каждое слагаемое <tex> \geqslant j</tex> может стоять один из двух элементовлибо содержать слагаемое <tex>j</tex> (таких разбиений <tex>\mathtt{d[i - j][j]}</tex>), либо не содержать (таких разбиений <tex>\mathtt{d[i][j + 1]}</tex>).  Получаем рекуррентное соотношение для подсчёта <tex>d</tex>: <p><tex dpi = "145">d[i][j] = \left \{\begin{array}{ll} 1, & i = j, \\ 0, & i < j \\ d[i][j + 1] + d[i - j][j], & i > j \end{array} \right. </tex></p>   '''int''' part2num(part: '''list<int>'''): numOfPart = 0, независимо от тогоlast = 0, какие sum = 0 '''for''' i = 1 '''to''' part.size '''for''' j = last '''to''' part[i] - 1 <font color=green>// перебираем все элементы находятся в префиксе, поэтому поиск меньших элементов можно упростить до условия: лексикографически меньшие текущего, но не меньшие предыдущего</font> numOfPart += d[N - sum - j][j] <font color=green>// прибавляем количество перестановок, которые могли начинаться с <tex>j</tex></font> sum += part[i] <font color=green>// увеличиваем уже поставленную сумму</font> last = part[i] <font color=green>// обновляем последний поставленный элемент </font> '''return''' numOfPart <font color=green>// возвращаем ответ</font> *numOfBitvector Стоит отметить, что количество итераций вложенного цикла не более, чем <tex>N</tex>, так как всего количество возможных слагаемых {{---}} искомый номер вектора.*bitvector[1.<tex>N</tex>, и ни какое из них цикл не обработает дважды, поскольку каждый раз начинает с <tex>last</tex>, которое больше чем любое из обработанных чисел.n] Поэтому асимптотика алгоритма {{---}} данный вектор<tex>O(N)</tex>.
'''function''' NumOfBitvectorFuncАсимптотика алгоритма {{---}} <tex> O (bitvector: '''Binary'''N) '''for''' i = 1 '''to''' n '''do''' '''if''' bitvector[i] == 1 numOfBitvector += </tex> и <tex>O(N^2 ** (n - i) '''return''' numOfBitvector </tex> на предподсчёт.
== См. также ==
*[[Получение объекта по номеру|Получение объекта по номеру]]
*[[Получение следующего объекта|Получение следующего объекта]]
*[[Правильные скобочные последовательности#.D0.9F.D0.BE.D0.BB.D1.83.D1.87.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.BD.D0.BE.D0.BC.D0.B5.D1.80.D0.B0_.D0.BF.D0.BE.D1.81.D0.BB.D0.B5.D0.B4.D0.BE.D0.B2.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B8|Получение номера правильной скобочной последовательности]]
== Источники информации ==
*Программирование в алгоритмах / С. М. Окулов. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2002. стр.31
*Дискретная математика. Теория и практика решения задач по информатике / С. М. Окулов. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008.
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Комбинаторика]]
Анонимный участник

Навигация