Изменения

# Первоначальное разбиение множества состояний {{---}} класс допускающих состояний <tex>F</tex> и класс недопускающих состояний (<tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ F, \ Q \setminus F\}</tex>).# Перебираются символы алфавита <tex>c \in \Sigma</tex>, все пары <tex>(\langle F, \ c)\rangle</tex> и <tex>(\langle Q \setminus F, c)\rangle</tex> помещаются в очередь.# Из очереди извлекается пара <tex>(\langle C, \ a)\rangle</tex>, <tex>C</tex> далее именуется как сплиттер.# Все классы Каждый класс <tex>R</tex> текущего разбиения разбиваются на 2 подкласса (один из которых может быть пустым). Первый состоит из состояний, которые по символу <tex>a</tex> переходят в сплиттер<tex>(R_1)</tex>, а второй из всех оставшихся<tex>(R_2)</tex>. # Те классы, которые разбились Если <tex>R</tex> разбился на два непустых подкласса(то есть <tex> R_1 \ne \emptyset \ \land \ R_2 \ne \emptyset </tex>).## В разбиении <tex>P</tex> класс <tex>R</tex> заменяется на свои подклассы <tex>R_1</tex> и <tex>R_2</tex>.## Перебираются символы алфавита <tex>c \in \Sigma</tex>, заменяются этими подклассами в разбиениивсе пары <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> и <tex>\langle R_2, а также добавляются c \rangle</tex> помещаются в очередь.

*<tex>\mathtt{Q}</tex> {{---}} множество состояний ДКА.,*<tex>\mathtt{F}</tex> {{---}} множество терминальных состояний.,*<tex>\mathtt{\delta}</tex> {{---}} функция перехода (<tex>\delta (r,\ a)</tex> {{---}} состояние, в которое можно совершить переход из <tex>r</tex> по символу <tex>a</tex>),*<tex>\mathtt{S}</tex> {{---}} очередь пар <tex>(\langle C, \ a)\rangle</tex>.,*<tex>\mathtt{P}</tex> {{---}} разбиение множества состояний ДКА.,*<tex>\mathtt{R}</tex> {{---}} класс состояний ДКА.  '''function''' findEquivalenceClasses<tex>(Q,\ F,\ \delta)</tex>: '''vector''' <tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ \mathtt{F, \ Q} \setminus \mathtt{F} \}</tex> <tex>\mathtt{S} \leftarrow \varnothing </tex> '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex> '''insert''' push <tex>(\mathtt{langle F}, \ c)</tex> '''in''' <tex>\mathtt{S}rangle</tex> '''insert''' , <tex>(\mathtt{langle Q} \setminus \mathtt{F}, \ c)\rangle</tex> '''ininto''' <tex>\mathtt{S}</tex> '''while''' <tex> \mathtt{S} \ne \varnothing </tex> <tex>(\langle C, \ a) \rangle</tex> <tex>\leftarrow</tex> pop '''popfrom'''(<tex>\mathtt{S}</tex>) '''for''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex> <tex>R_1 = R , R_2 \cap \delta^{-1} (C, a) leftarrow </tex> <tex>R_2 = \mathtt{split}(R ,\ C,\setminus R_1a)</tex> '''if''' <tex> R_1 \ne \varnothing </tex> '''and''' <tex> R_2 \ne \varnothing </tex> ''' replace''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex> '''with''' <tex>R_1</tex> '''and''' <tex>R_2</tex> '''for''' <tex> c \in \Sigma </tex> ''' insert''' <tex>(\langle R_1, \ c)\rangle</tex> '''in''' <tex>\mathtt{S}</tex> insert <tex>\langle R_2,\ c \rangle</tex> '''insertin''' <tex>(R_2, c)\mathtt{S}</tex> '''inreturn''' <tex>\mathtt{SP}</tex> 

Время работы алгоритма оценивается как <tex>O(|\Sigma| \cdot n^2)</tex>, где <tex> n </tex> {{---}} количество состояний ДКА, а <tex> \Sigma </tex>{{---}} алфавит. Это следует из того, что если пара <tex>(\langle C, \ a)\rangle</tex> попала в очередь, и класс <tex>C</tex> использовался в качестве сплиттера, то при последующем разбиении этого класса в очередь добавляется два класса <tex>C_1</tex> и <tex>C_2</tex>, причем можно гарантировать лишь следующее уменьшение размера: <tex>|C| \ge geqslant |C_i| + 1</tex>. Каждое состояние изначально принадлежит лишь одному классу в очереди, поэтому каждый переход в автомате будет просмотрен не более, чем <tex>O(n)</tex> раз. Учитывая, что ребер всего <tex>O(|\Sigma| \cdot n)</tex>, получаем указанную оценку.

:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R</tex> and <tex> \ \land \ \delta(r, a) \in R_1\ \lor</tex> or :<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R</tex> and <tex> \ \land \ \delta(r, a) \notin R_1\ \lor</tex> or :<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R</tex> and <tex> \ \land \ \delta(r, a) \notin R_1</tex>

:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R_2 \ \lor</tex> or

:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R_1</tex> and <tex> \ \land \ \delta(r, a) \notin R_2\ \lor</tex> or :<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R_1</tex> and <tex> \ \land \ \delta(r, a) \in R_2\ \lor</tex> or :<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R_1</tex> and <tex> \ \land \ \delta(r, a) \notin R_2</tex>

:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R \ \lor</tex> or :<tex> \forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R</tex>

Алгоритм Хопкрофта отличается от простого тем, что иначе добавляет классы пары в очередь.После замены класса <tex>R</tex> в разбиении <tex>P</tex> на его подклассы <tex>R_1</tex> и <tex>R_2</tex>, как и раньше перебираем символы алфавита <tex>c \in \Sigma</tex>. Если класс пара <tex>\langle R,\ c \rangle</tex> уже есть в очереди, то согласно лемме можно просто заменить его её на пары <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> и <tex>\langle R_2, c \rangle</tex>.  Если класса пары <tex>\langle R,\ c \rangle</tex> нет в очереди, то согласно лемме в очередь можно достаточно добавить класс любую из пар <tex>R\langle R_1, c \rangle</tex> и любой <tex>\langle R_2, c \rangle</tex>. Это следует из следующих соображений: <tex>R</tex> может быть в разбиении только если в очередь были положены пары <tex>R_1\langle R,\ a \rangle</tex> и для <tex>R_2\forall a \in \Sigma</tex>, а так как для любого класса поскольку в очереди пары <tex>B\langle R,\ c \rangle</tex> нет, то мы её уже успели рассмотреть, следовательно классы из текущего разбиения выполняется :<tex>P</tex> уже были разбиты по <tex>\langle R,\forall r c \in B rangle</tex>. === Реализация === *<tex>\mathtt{Q}</tex> {{---}} множество состояний ДКА,*<tex>\mathtt{F}</tex> {{---}} множество терминальных состояний,*<tex>\, mathtt{\delta}</tex> {{---}} функция перехода (<tex>\delta(r, \ a)</tex> {{---}} состояние, в которое можно совершить переход из <tex>r</tex> по символу <tex>a</tex>) ,*<tex>\mathtt{S}</tex> {{---}} очередь пар <tex>\in langle C,\ a \rangle</tex>,*<tex>\mathtt{P}</tex> {{---}} разбиение множества состояний ДКА,*<tex>\mathtt{R }</tex> or {{---}} класс состояний ДКА.  '''function''' findEquivalenceClasses<tex>(Q,\ F,\ \delta)</tex>:'''vector''' <tex> \forall r mathtt{P} \leftarrow \{ F, \ Q \setminus F \}</tex> <tex>\mathtt{S} \leftarrow \varnothing </tex> '''for''' <tex>c \in B \Sigma</tex> push <tex>\langle F,\ c \rangle</tex>, <tex>\langle Q \setminus F,\c \rangle</tex> '''into''' <tex> \mathtt{S}</tex> '''while''' <tex>\mathtt{S} \ne \varnothing</tex> <tex>\langle C,\a \rangle</tex> <tex>\leftarrow</tex> pop '''from''' <tex>\mathtt{S}</tex> '''for''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex> <tex> R_1, R_2 \deltaleftarrow </tex> <tex>\mathtt{split}(rR,\ C, \ a) </tex> '''if''' <tex> R_1 \notin ne \varnothing </tex> '''and''' <tex> R_2 \ne \varnothing </tex> replace <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex> with' <tex>R_1</tex> '''and''' <tex>R_2</tex> то '''if''' <tex>\langle R,\ c \rangle</tex> '''in''' <tex> \mathtt{S}</tex> <font color=darkgreen>// смотрим, есть ли пара <tex>\langle R,\ c \rangle</tex> в очередь можно добавить только меньшее из очереди </font> remove <tex>\langle R, c \rangle</tex> '''from''' <tex>\mathtt{S}</tex> <font color=darkgreen>// заменяем её на пары <tex>\langle R_1, c \rangle</tex>, <tex>\langle R_2, c \rangle</tex> если пара есть </font> push <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex> push <tex>\langle R_2, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex> '''else''' '''if''' <tex> |\mathtt{P}[R_1]| \leqslant |\mathtt{P}[R_2]| </tex> <font color=darkgreen>// вставляем любую иначе</font> push <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> и '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex> '''else''' push <tex>\langle R_2, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex> '''return''' <tex>\mathtt{P}</tex>.

<tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ \mathtt{F, Q} \setminus \mathtt{F} \}</tex> <tex>\mathtt{S} \leftarrow \varnothing </tex> '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex> '''insert''' <tex> (\mathtt{min} (\mathtt{FПонятно, Q} \setminus \mathtt{F})что нам нет никакой необходимости просматривать все классы в разбиении. Вполне достаточно рассмотреть лишь те классы, c)из состояний которых есть хотя бы одно ребро в состояния сплиттера. Обозначим множество таких классов за </tex> T'''in''' <tex>\mathtt{S}</tex> '''while''' <tex>\mathtt{S} \ne \varnothing</tex> <tex>(C, a) \leftarrowего нужно будет эффективно находить для каждой пары </tex> '''pop'''(<tex>\mathtt{S}</tex>) <tex>T \leftarrow \{R \ | \ R \in \mathtt{P}, \ R</tex> splits by <tex>(langle C, a) \}</tex> '''for each''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>T</tex> <tex> R_1, R_2 \leftarrow </tex> '''split'''(<tex>R, C, a</tex>) '''replace''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex> '''with''' <tex>R_1</tex> '''and''' <tex>R_2</tex> '''for''' <tex>c \in \Sigmarangle</tex> '''if''' <tex>(R, c)</tex> '''in''' <tex>\mathtt{S}</tex> '''replace''' <tex> (R, c)</tex> '''in''' <tex>\mathtt{S}</tex> '''with''' <tex>(R_1, c)</tex> '''and''' <tex>(R_2, c)</tex> '''else''' '''insert''' <tex>(\mathtt{min}(R_1, R_2), c)</tex> '''in''' <tex>\mathtt{S}</tex>.

К сожалению '''function''' findEquivalenceClasses<tex>(Q, совсем не очевидно\ F,\ \delta)</tex>: '''vector''' <tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ F, как быстро находить множество \ Q \setminus F \}</tex> <tex>\mathtt{S} \leftarrow \varnothing </tex> '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex> push <tex>T\langle F,\ c \rangle</tex>. С другой стороны, понятно<tex>\langle Q \setminus F, что \ c \rangle</tex> '''into''' <tex>T \subset Tmathtt{S}</tex> '''while'''<tex>\mathtt{S} \ne \varnothing</tex> <tex>\langle C, где \ a \rangle</tex> <tex>\leftarrow</tex>Tpop '''from'''<tex>\mathtt{S}</tex> <tex>\mathtt{Inverse} \leftarrow \{---r \ | \ r \in Q, \ \delta(r, a) \in C\}</tex> <tex>T' \leftarrow \{R \ | \ R \in \mathtt{P} это множество классов текущего разбиения, \ R \cap \mathtt{Inverse} \neq \varnothing\}</tex> <font color=darkgreen>// находим классы, из состояний которых в автомате существует переход есть ребро в состояния сплиттера </font> '''for''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>T'</tex><font color=darkgreen>// перебираем только классы входящие в <tex>T'</tex></font> <tex> R_1, R_2 \leftarrow </tex> <tex>\mathtt{split}(R,\ C,\ a)</tex> '''if''' <tex> R_1 \ne \varnothing </tex> '''and''' <tex> R_2 \ne \varnothing </tex> replace <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex> with <tex>R_1</tex> '''and''' <tex>R_2</tex> '''if''' <tex>\langle R,\ c \rangle</tex> '''in''' <tex> \mathtt{S}</tex> remove <tex>\langle R, c \rangle</tex> '''from''' <tex>\mathtt{S}</tex> push <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex> push <tex>\langle R_2, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex> '''else''' '''if''' <tex> |\mathtt{P}[R_1]| \leqslant |\mathtt{P}[R_2]| </tex> push <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex> по символу '''else''' push <tex>a\langle R_2, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex> '''return''' <tex>\mathtt{P}</tex>.

Каждая итерация цикла <tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ \mathtt{F, Q} \setminus \mathtt{F} \}</tex> <tex>\mathtt{S} \leftarrow \varnothing </tex> '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex> '''insert''' <tex>(\mathtt{min} (\mathtt{F, Q} \setminus \mathttmathrm{F}), c)</tex> '''in''' <tex>\mathtt{S}</tex> '''while''' <tex>\mathtt{S} \ne \varnothing</tex> может быть выполнена за <tex>O(C, a) \leftarrow</tex> '''pop'''(<tex>\mathtt{S}</tex>) <tex>\mathtt{Inverse} \leftarrow \{r \ | \ r \in \mathtt{Q}, \ \delta(r, a) \in C\}</tex> <tex>T' \leftarrow \{R \ | \ R \in \mathtt{P}, \ R \cap + |\mathtt{Inverse} |)\neq \varnothing\}</tex> '''for each''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>T'</tex> '''if''' <tex>R</tex> splits by <tex>(C, a)</tex> для текущей пары <tex> R_1, R_2 \leftarrow </tex> '''split'''(<tex>R, langle C, \ a</tex>) '''replace''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex> '''with''' <tex>R_1</tex> '''and''' <tex>R_2</tex> '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex> '''if''' <tex>(R, c)</tex> '''in''' <tex>\mathtt{S}</tex> '''replace''' <tex>(R, c)</tex> '''in''' <tex>S</tex> '''with''' <tex>(R_1, c)rangle</tex> '''and''' <tex>(R_2, c)</tex> '''else''' '''insert''' <tex>(\mathtt{min}(R_1, R_2). Покажем, c)</tex> '''in''' <tex>\mathtt{S}</tex>как можно достичь этой оценки.

Каждая итерация цикла Классы разбиения <tex> while P</tex> не может быть выполнена быстреебудем поддерживать с помощью множеств на [[Хеш-таблица | хэш-таблицах]] (само же разбиение {{---}} обычный вектор, чем индекс {{---}} номер класса). Это позволит нам эффективно переносить состояния из одного класса в другой (за <tex> O(|Inverse|1) </tex> для текущей пары <tex> (C,a)</tex>. Покажем, как достичь этой оценки.

Разбиение <tex> P </tex> можно поддерживать четырьмя массивами:*<tex>\mathtt{Class}[r]</tex> {{---}} номер класса, которому принадлежит состояние <tex>r</tex>;,*<tex>Part[i]\mathtt{Queue}</tex> {{---}} указатель на голову [[Список#Двусвязный список|двусвязного списка]], содержащего состояния, принадлежащие классу очередь пар <tex> i \langle C,\ a \rangle</tex>;*, где <tex>Card[i]C</tex> {{---}} количество состояний в классе <tex>i</tex>;номер класса (сплиттера),*<tex>Place\mathtt{Inv}[r][a]</tex> {{---}} указатель на состояние массив состояний, из которых есть ребра по символу <tex>ra</tex> в списке состояние <tex>Part[Class[r]]</tex>(мы не меняем исходный автомат, потому может быть построен раз перед началом работы алгоритма).

Так как мы храним указательДля обработки <tex>T'</tex> за <tex>O(|Q| + |\mathtt{Inverse}|)\,</tex> нам понадобится следующая структура:*<tex>\mathtt{Involved}</tex> {{---}} список из номеров классов, содержащихся во множестве <tex>T'</tex>,*<tex>\mathtt{Count}</tex> {{---}} целочисленный массив, где находится состояние <tex>\mathtt{Count}[i]</tex> хранит количество состояний из класса <tex>i</tex>, которые содержатся в <tex>\mathtt{Inverse}</tex>,*<tex>\mathtt{Twin}</tex> {{---}} массив, хранящий в двусвязном списке<tex>\mathtt{Twin}[i]</tex> номер нового класса, то операцию перемещения состояния из одного образовавшегося при разбиении класса в другой можно выполнить за <tex>O(1)i</tex>.

Чтобы эффективно находить множество '''function''' findEquivalenceClasses<tex>Inverse(Q,\ F,\ \delta)</tex>: '''vector''' <tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ F, построим массив \ Q \setminus F \}</tex> '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex> push <tex>\langle F,\ c \rangle</tex>, <tex>\langle Q \setminus F,\ c \rangle</tex> '''into''' <tex> \mathtt{Queue}</tex> '''while''' <tex>\mathtt{Queue} \ne \varnothing</tex> <tex>\langle C,\ a \rangle</tex> <tex>\leftarrow</tex> pop '''from''' <tex>\mathtt{Queue}</tex> <tex>\mathtt{Involved} \leftarrow \varnothing</tex> '''for''' <tex>q \in C</tex> '''and''' <tex>r \in \mathtt{Inv}[q][a]</tex>, который для состояния <tex>i = \mathtt{Class}[r]</tex> '''if''' <tex>\mathtt{Count}[i] == 0</tex> insert <tex>i</tex> '''into''' <tex>\mathtt{Involved}</tex> <tex>\mathtt{Count}[i]++</tex> '''for''' <tex> i \in \mathtt{Involved}</tex> '''if''' <tex>\mathtt{Count}[i] < |\mathtt{P}[i]|</tex> insert <tex>\{\}</tex> '''into''' <tex>\mathtt{P}</tex> <font color=darkgreen>//создадим пустой класс в разбиении <tex> и символа \mathtt{P}</tex></font> <tex>a\mathtt{Twin}[i] = |\mathtt{P}|</tex> <font color=darkgreen> //запишем в <tex>\mathtt{Twin[i]}</tex> индекс нового класса</font> '''for''' <tex>q \in C</tex> '''and''' <tex>r \in \mathtt{Inv}[q][a]</tex> <tex>i = \mathtt{Class}[r]</tex> <tex>j = \mathtt{Twin}[i]</tex> '''if''' <tex>j \neq 0</tex> remove <tex>r</tex> '''from''' <tex>\mathtt{P}[ai]</tex> хранит множество состояний, из которых существует переход в add <tex>r</tex> по символу '''to''' <tex>\mathtt{P}[j]</tex> '''for''' <tex> i \in \mathtt{Involved}</tex> <tex>aj = \mathtt{Twin}[i]</tex>. Так как наш алгоритм не меняет изначальный автомат, то массив '''if''' <tex>Invj \neq 0 </tex> можно построить перед началом основной части алгоритма, что займет '''if''' <tex>O(|\Sigmamathtt{P}[j]| > |Q\mathtt{P}[i]|</tex> <font color=darkgreen>// парный класс должен быть меньшего размера</font> <tex>\mathtt{swap}(\mathtt{P}[i],\ \mathtt{P}[j])</tex> <font color=darkgreen>// swap за <tex>\mathtt{O(1)}</tex> {{---}} просто переставить указатели</font> '''for''' <tex>r \in \mathtt{P}[j]</tex> <font color=darkgreen> // обновляем номера классов для вершин, у которых они изменились</font> <tex>\mathtt{Class}[r] = j</tex> '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex> push <tex>\langle j, c \rangle</tex> '''to''' <tex>\mathtt{Queue}</tex> <tex>\mathtt{Count}[i] = 0</tex> <tex>\mathtt{Twin}[i] = 0</tex> '''return''' <tex>\mathtt{P}</tex> времени.

Сам же алгоритм обработки Стоит отметить, что массивы <tex>T'</tex> будет выглядеть так: <tex>\mathtt{Involved} \leftarrow \varnothing</tex> '''for''' <tex>q \in C</tex> '''and''' <tex>r \in \mathtt{Inv}[q][a]</tex> <tex>i = \mathtt{Class}[q]</tex> '''if''' <tex>\mathtt{Size}[i] == 0</tex> '''insert''' <tex>i</tex> '''in''' <tex>\mathtt{Involved}</tex> <tex>\mathtt{Size}[i]++</tex> '''for''' <tex>q \in C</tex> '''and''' <tex>r \in \mathtt{Inv}[q][a]</tex> <tex>i = \mathtt{Class}[q]</tex> '''if''' <tex>\mathtt{Size}[i] < \mathtt{CardCount}[i]</tex> '''if''' <tex>,\mathtt{Twin}[i] == 0</tex> <tex>\mathtt{Counter}++</tex> <tex>\mathtt{Twin[i]} = \mathtt{Counter}</tex> '''move''' <tex>r</tex> '''from''' <tex>i</tex> '''to''' <tex>\mathtt{Twin}[i]</tex> '''for''' <tex> j \in \mathtt{Involved}</tex> <tex>\mathtt{Size}[j] = 0</tex> <tex>\mathtt{Twin}[j] = 0,</tex>аллоцируются ровно один раз при инициализации алгоритма.

Для быстрой проверкиТакже стоит отметить, находится ли пара <tex>(C,a)<что собственно наличие/tex> отсутствие пары в очереди можно не проверять. Если для некоторого <tex>Sc</tex>, будем использовать массив пара <tex>InQueue</tex> размера <tex>|Q| \times |langle i, c \Sigma|rangle</tex>уже была в очереди, где то мы добавим её "вторую половинку" <tex>InQueue[C]\langle \mathtt{Twin}[ai] = true</tex>, если пара <tex>(C,a)c \rangle</tex> содержится . Если её в очереди. Так как при разбиении очередного класса <tex>R</tex> на подклассы <tex>R_1</tex> и <tex>R_2</tex> не было, то мы вольны сами выбирать, какой подкласс добавлять в действительности создаем лишь один новый классочередь, то замена класса и таким образом добавляем опять же <tex>R\langle \mathtt{Twin}[i], c \rangle</tex> .Кроме того, вместо очереди можно использовать вообще произвольную структуру, хранящую элементы, в очереди на подклассытом числе стэк, образовавшиеся при разбиениимножество, сводится лишь к взаимодействию с массивом <tex>InQueue</tex>. В результате каждая операция с очередью требует <tex>O(1)</tex> временитак как порядок извлечения нам по сути не важен.

Количество итераций цикла <tex>\mathrm{while}</tex> не превышает <tex> 2 |\Sigma| |Q| </tex>.

Для доказательства этого утверждения достаточно показать, что количество пар <tex>(\langle C,\ a)\rangle</tex> добавленных в очередь <tex>S</tex> не превосходит <tex> 2 |\Sigma| |Q| </tex>, так как на каждой итерации мы извлекаем одну пару из очереди.

По [[#Лемма1 | лемме(1)]] количество классов не превосходит <tex>2 |Q| - 1</tex>. Пусть <tex>C</tex> элемент текущего разбиения. Тогда количество пар <tex>(\langle C,\ a)\rangle</tex>, <tex>\ a \in \Sigma</tex> не может быть больше <tex>|\Sigma|</tex>. Отсюда следует, что всего различных пар, которые можно добавить в очередь, не превосходит <tex> 2 |\Sigma| |Q| </tex>.

Пусть <tex>a \in \Sigma</tex> и <tex>p \in Q</tex>. Тогда количество пар <tex>(\langle C,\ a)\rangle</tex>, где <tex>p \in C</tex>, которые мы удалим из очереди, не превосходит <tex>\log_2(|Q|)</tex> для фиксированных <tex>a</tex> и <tex>p</tex>.

Рассмотрим пару <tex>(\langle C,\ a)\rangle</tex>, где <tex>p \in C</tex>, которую мы удаляем из очереди. И пусть <tex>(\langle C',a)\rangle</tex> следующая пара, где <tex>p \in C'</tex> и которую мы удалим из очереди. Согласно нашему алгоритму класс <tex>C'</tex> мог появиться в очереди только после операции <tex>\mathtt{replace}</tex>. Но после первого же разбиения класса <tex>C</tex> на подклассы мы добавим в очередь пару <tex>(\langle C'', a)\rangle</tex>, где <tex>C''</tex> меньший из образовавшихся подклассов, то есть <tex>|C''| \leqslant |C| \ / \ 2</tex>. Так же заметим, что <tex>C' \subseteq C''</tex>, а следовательно <tex>|C'| \leqslant |C| \ / \ 2</tex>. Но тогда таких пар не может быть больше, чем <tex>\log_2(|Q|)</tex>.

<tex>\sum |\mathtt{Inverse}|</tex> по всем итерациям цикла <tex>\mathrm{while}</tex> не превосходит <tex>|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|)</tex>.

Пусть <tex>x, y \in Q</tex>, <tex>a \in \Sigma</tex> и <tex> \delta(x, a) = y</tex>. Зафиксируем эту тройку. Заметим, что количество раз, которое <tex>x</tex> встречается в <tex>\mathtt{Inverse}\,</tex> при условии, что <tex> \delta(x, a) = y</tex>, совпадает с числом удаленных из очереди пар <tex>(\langle C, \ a)\rangle</tex>, где <tex>y \in C</tex>. Но по [[#Лемма3 | лемме(3)]] эта величина не превосходит <tex>\log_2(|Q|)</tex>. Просуммировав по всем <tex> x \in Q </tex> и по всем <tex> a \in \Sigma</tex> мы получим утверждение леммы.

*Построение массива <tex>\mathtt{Inv}</tex> занимает <tex>O(|\Sigma| |Q|)</tex> времени.

*По [[#Лемма2 | второй лемме]] количество итераций цикла <tex>\mathrm{while}</tex> не превосходит <tex>O(|\Sigma| |Q|)</tex>.

*Операции с множеством <tex>T'</tex> и разбиение классов на подклассы требуют <tex>O(\sum(|\mathtt{Inverse}|))\,</tex> времени. Но по [[#Лемма4 | лемме(4)]] <tex>\sum(|\mathtt{Inverse}|)\,</tex> не превосходит <tex>|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|)</tex>, то есть данная часть алгоритма выполняется за <tex>O(|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|))</tex>.

== Литература = Альтернативная реализация ===Вообще, алгоритм можно реализовать и с меньшим количеством используемых структур (что делает код на порядок читабельнее). Все классы разбиения будем по-прежнему хранить в векторе хэш-сетов <tex>\mathtt{P}</tex>. *<tex>\mathtt{Class}[r]</tex> {{---}} индекс класса в <tex>\mathtt{P}</tex>, которому принадлежит состояние <tex>r</tex>,*<tex>\mathtt{Queue}</tex> {{---}} очередь из пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>,*<tex>\mathtt{Inv}[r][a]</tex> {{---}} массив состояний, из которых есть ребра по символу <tex>a</tex> в состояние <tex>r</tex> (мы не меняем исходный автомат, потому может быть построен раз перед началом работы алгоритма),*<tex>\mathtt{Involved}</tex> {{---}} ассоциативный массив из номеров классов в векторы из номеров вершин.  <tex>\mathtt{findEquivalenceClasses}(Q,\ F,\ \delta)</tex>: <tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ F, \ Q \setminus F \}</tex> '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex> insert <tex>\langle F,\ c \rangle</tex>, <tex>\langle Q \setminus F,\ c \rangle</tex> '''into''' <tex> \mathtt{Queue}</tex> '''while''' <tex>\mathtt{Queue} \ne \varnothing</tex> <tex>\langle C,\ a \rangle</tex> <tex>\leftarrow</tex> pop '''from''' <tex>\mathtt{Queue}</tex> <tex>\mathtt{Involved} = \{\}</tex> '''for''' <tex>q \in C</tex> '''and''' <tex>r \in \mathtt{Inv}[q][a]</tex> <tex>i = \mathtt{Class}[r]</tex> '''if''' <tex>\mathtt{Involved}[i] == \varnothing</tex> <tex>\mathtt{Involved}[i] = \{\}</tex> add <tex>r</tex> '''to''' <tex>\mathtt{Involved}[i]</tex> '''for''' <tex> i \in \mathtt{Involved}</tex> <font color=darkgreen>//Перебираем ключи <tex>\mathtt{Involved}</tex></font> '''if''' <tex>|\mathtt{Involved}[i]| < |\mathtt{P}[i]|</tex> '''insert''' <tex>\{\}</tex> '''into''' <tex>\mathtt{P}</tex> <font color=darkgreen>//Создадим пустой класс в разбиении <tex>\mathtt{P}</tex></font> <tex>j = |\mathtt{P}|</tex> <font color=darkgreen>//Запишем в <tex>j</tex> индекс нового класса</font> '''for''' <tex>r</tex> '''in''' <tex>\mathtt{Involved}[i]</tex> remove <tex>r</tex> '''from''' <tex>\mathtt{P}[i]</tex> add <tex>r</tex> '''to''' <tex>\mathtt{P}[j]</tex> '''if''' <tex>|\mathtt{P}[j]| > |\mathtt{P}[i]|</tex> <font color=darkgreen>//Парный класс должен быть меньшего размера</font> <tex>\mathtt{swap}(\mathtt{P}[i],\ \mathtt{P}[j])</tex> <font color=darkgreen>//swap за <tex>\mathtt{O(1)}</tex> {{---}} просто переставить указатели</font> '''for''' <tex>r \in \mathtt{P}[j]</tex> <font color=darkgreen>//Обновляем номера классов для вершин, у которых они изменились</font> <tex>\mathtt{Class}[r] = j</tex> '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex> push <tex>\langle j, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{Queue}</tex> '''return''' <tex>\mathtt{P}</tex> == См. также == * [[Алгоритм Бржозовского]] == Источники информации ==