Изменения

4. Число <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает объем части <tex>n</tex>-мерного единичного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>; ''Доказательство'' Положим <tex>W_n^k</tex> - фигура, образованная сечением гиперкуба <tex>[0,1]^{n}</tex> плоскостями <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = k</tex> и <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = k+1</tex>. Будем обозначать полупространство в <tex>\mathbb{R}^{n}</tex> как <tex>G_{w, z}^{n} = \{x \in \mathbb{R}^{n} : w \cdot x \le z \}</tex>:<tex>W_n^k := \{ x \in \mathbb{R} : k \le x \cdot 1_{[n]} \le k+1 \} \cap I^{n}</tex> Тогда перейдем к следующему равенству: :<tex>\mathrm{Vol}_{n}(W_n^k) = \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},k+1}^{n} \cap I^n) - \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},k}^{n} \cap I^n)</tex>:<tex>= \frac{1}{n!}[\sum\limits_{j=0}^{k+1}(-1)^{j}{n \choose j}(k+1-j)^{n} - \sum\limits_{j=0}^{k}(-1)^{j}{n \choose j}(k-j)^{n}]</tex>:<tex> = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{k+1}(-1)^j{n+1 \choose j}(k+1-j)^n</tex>:<tex> = \frac{1}{n!}\left\langle{n\atop k}\right\rangle</tex> 5. Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex> равна <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex>.