Изменения

Для доказательства этого факта нам потребуется следующая теоремаоб объемах сечений <tex>n</tex>-мерных гиперкубов: <br/><br/>:Пусть <tex>w \in \mathbb{R}</tex> - вектор с ненулевыми компонентами (<tex>w = {w_1, w_2 ... w_n}</tex>), а <tex>z \in \mathbb{R}_+</tex>. Тогда верно следующее равенство:

:Пусть <tex dpi = "160">\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{w,z} \cap I^{n}) = \frac{1}{n! \prod\limits_{i=1}^{n}w_i} \sum\limits_{K \subseteq [n]} (-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex> :Где <tex>G_{w , z}^{n} := \{x \in \mathbb{R}^{n} : (w \cdot x) \le z \}</tex> - вектор с ненулевыми компонентами (полупространство; :<tex>I^n := [0,1]^n</tex>; :<tex>w [n] := {w_11, w_2 2... w_nn}</tex>); :<tex>1_K</tex>, где <tex>K</tex> - множество, изоморфное <tex>\mathbb{N}</tex>, {{---}} вектор, где компоненты номеров, входящих в <tex>K</tex>, равны 1, а остальные {{---}} нули; :Для <tex>z r \in \mathbb{R}_</tex> и <tex>n \in \mathbb{N}</tex> <tex>r^n_+:= (max\{r,0\})^n</tex>. Тогда верно следующее равенство:С доказательством этой теоремы можно ознакомиться [http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf здесь].<br/><br/>Рассмотрим пересечение гиперкуба полупространством <tex>G^n_{1_{[n]},m}</tex>. Вектор <tex>1_{[n]}</tex> появляется здесь ввиду того, как мы определили в формулировке секущие гиперплоскости (<tex>x_1+x_2+...+x_n = m | m+1</tex>). Очевидно, что при данном значении вектора произведение <tex>\prod\limits_{i=1}^{n}w_i</tex> равно единице. Рассмотрим выражение, стоящее под знаком суммы. При итерации по подмножествам <tex>[n]</tex> равной мощности будут получаться одинаковые слагаемые, так как выражение <tex>(-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex> зависит лишь от мощности итерируемого в сумме подмножества <tex>K</tex> {{---}} векторное произведение <tex>w \cdot 1_K</tex> одинаково за счет того лишь факта, что модуль <tex>1_k</tex> зависит только лишь от мощности <tex>K</tex>, а угол между <tex>w</tex> и <tex>1_K</tex> одинаков ввиду того, как определяются эти вектора. Такое скалярное произведение будет равно мощности <tex>K</tex>. Отсюда имеем <tex>{n \choose j}</tex> таких одинаковых слагаемых, где <tex>j = |K|</tex>.

Тогда перейдем от первоначальной формулировки теоремы к следующей::<tex dpi = "160">\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{w1_{[n]},zm} \cap I^{n}) = \frac{1}{n! }\prodsum\limits_{ij =10}^{n}w_i} \sum\limits_{k \subseteq [n]m + 1} (-1)^{|k|j}(zm-w \cdot 1_kj)^n_+n</tex>

Положим <tex>W_n^km</tex> - фигура, образованная сечением гиперкуба <tex>[0,1]^{n}</tex> плоскостями <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = km</tex> и <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = km+1</tex>. Будем обозначать полупространство в <tex>\mathbb{R}^{n}</tex> как <tex>G_{w, z}^{n} = \{x \in \mathbb{R}^{n} : (w \cdot x) \le z \}</tex>:<tex>W_n^k m := \{ x \in \mathbb{R} : k m \le x \cdot 1_{[n]} \le km+1 \} \cap I^{n}</tex>

:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(W_n^km) = \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},km+1}^{n} \cap I^n) - \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},km}^{n} \cap I^n)</tex>:<tex>= \frac{1}{n!}[\sum\limits_{j=0}^{km+1}(-1)^{j}{n \choose j}(km+1-j)^{n} - \sum\limits_{j=0}^{km}(-1)^{j}{n \choose j}(km-j)^{n}]</tex>:<tex> = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{km+1}(-1)^j{n+1 \choose j}(km+1-j)^n</tex>:<tex> = \frac{1}{n!}\left\langle{n\atop km}\right\rangle</tex>