Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Декомпозиция Эдмондса-Галлаи

57 байт добавлено, 23:19, 28 декабря 2013
Нет описания правки
Ключевые личности: В этом направлении много усилий приложили Вильям Томас '''Татт''' (''William Thomas Tutte''), Клауд '''Берж'''(''Claude Brege''), Джек '''Эдмондс'''(''Jack Edmonds''), и Тибор '''Галлаи'''(''Tibor Gallai'').
{{Определение
|statement=
Для любого графа G выполняется:<br>
<tex>\mathrm{def}(G) = \max_max\limits_{S \subset V(G)} \{\mathrm{odd}(G - S) - |S|\}.</tex>
}}
|statement=
Дан граф <tex>G</tex>, размер максимального паросочетания в нем равен:<br>
<tex>\mathrm{ \alpha} (G) = \min_min\limits_{U \in V} \{1/2(|V|-|U|-\mathrm{odd}(G-U)\} </tex>
}}
|proof=
Достаточно доказать, что <tex>D(G - a) = D(G)</tex>. <br>
'''1.''' # покажем, что <tex>D(G - a) \supset D(G)</tex> : <br>
Пусть <tex>u \in D(G)</tex>. Тогда существует [[Теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|максимальное паросочетание]] <tex>M_u</tex> графа <tex>G</tex>, не покрывающее <tex>u</tex>. Поскольку любое максимальное паросочетание графа <tex>G</tex> покрывает a, то <tex> \alpha (G - a) = \alpha (G) - 1 </tex> и более того, если, для некоторой вершины <tex>x \in D(G)</tex>, <tex>ax \in M_u</tex>, то <tex>M_u \setminus {ax} </tex> - максимальное паросочетание графа <tex> G - a </tex>, не покрывающее <tex> u </tex>. Таким образом, <tex>D(G - a) \supset D(G) </tex>. <br>
'''2.''' #покажем, что <tex> D(G - a) \subset D(G)</tex>: <br>
Предположим, что существует максимальное паросочетание <tex>M'</tex> графа <tex> G - a</tex>, не покрывающее вершину <tex>v</tex> <tex>not \in D(G)</tex>. Пусть <tex> w \in D(G) </tex> - смежная с <tex> a \in A(G)</tex> вершина, а <tex> M_w </tex>- максимальное паросочетание графа <tex> G </tex>, не покрывающее <tex> w </tex>. Так как <tex>v</tex> <tex>not \in D(G) </tex>, максимальное паросочетание <tex> M_w </tex> покрывает вершину <tex>v</tex>. Рассмотрим граф <tex> H = G(M_w \bigcup M') </tex> - очевидно, он является объединением нескольких путей и чётных циклов. Пусть <tex> U </tex> - компонента связности графа <tex> H </tex>, содержащая <tex>v</tex>. Так как <tex> deg_H(v) = 1 </tex>(степень вершины), то <tex> P = H(U) </tex> - путь с началом в вершине <tex>v</tex>. В пути <tex>P</tex> чередуются рёбра из <tex> M_w и M' </tex>, причём начинается путь ребром из <tex>M_w </tex>. Так как <tex> deg_H(a) = 1 </tex>, то вершина a либо не принадлежит пути <tex>P</tex>, либо является её концом (в этом случае последнее ребро пути принадлежит паросочетанию <tex> M_w</tex>). Рассмотрим несколько случаев: <br>
|proof=
[[Файл: Edmonds-Gallai_2.png|300px|thumb|right|Пример]]
1) # Последовательно удаляя вершины множества<tex> A = A(G)</tex>, по лемме о стабильности мы получим:#:* <tex>D(G - A) = D(G),</tex> #:* <tex>A(G - A) = \O, </tex>#:* <tex>C(G - A) = C(G),</tex>#:* <tex>\alpha (G - A) = \alpha (G) - |A|.</tex>#:#:Это означает, что не существует рёбер, соединяющих вершины из <tex>C(G - A)</tex> и <tex>D(G - A)</tex>. Каждое максимальное паросочетание <tex>M'</tex> графа <tex>G - A</tex> покрывает все вершины множества <tex>C(G)</tex>, поэтому <tex>M'</tex> содержитсовершенное паросочетание графа <tex>C</tex>. Тем самым, мы доказали пункт 1).#:2) # Из формулы <tex> \alpha(G - A) = \alpha (G) - |A|</tex> следует, что <tex>U_1,{...},U_n</tex>- компоненты связности графа <tex>G - A</tex>. Для любой вершины <tex>u \in U_i</tex> существует максимальное паросочетание <tex>M_u</tex> графа <tex>G - A</tex>, не содержащее <tex>u</tex>. Так как <tex>U_i</tex> - компонента связности графа <tex>G - A</tex>, паросочетание <tex>M_u</tex> содержит максимальное паросочетание графа <tex>D_i</tex> (разумеется, не покрывающее вершину <tex>u</tex>). Следовательно, <tex> \alpha (D_i) = \alpha (D_i - u) </tex> и по теореме Галлаи(выше) мы получаем, что граф <tex>D_i</tex> - фактор-критический.#:3) # Пусть <tex>M</tex> - максимальное паросочетание графа <tex>G</tex>, а <tex>M'</tex> получено из <tex>M</tex> удалением всех рёбер, инцидентных вершинам множества <tex>A</tex>. Тогда <tex>|M'| \ge |M| - |A|</tex> и по формуле <tex> \alpha (G - A) = \alpha (G) - |A|</tex> понятно, что <tex>M'</tex> - максимальное паросочетание графа <tex>G - A</tex>. Более того, из <tex> \alpha (G - A) = \alpha (G) - |A|</tex> следует <tex>|M'| = |M| - |A|</tex>, а значит, все вершины множества <tex>A</tex> покрыты в <tex>M</tex> различными рёбрами. Так как <tex>M'</tex> - максимальное паросочетание графа <tex>G - A</tex>, то по пунктам 1) и 2) очевидно, что <tex>M'</tex> содержит совершенное паросочетание графа <tex>C</tex> и почти совершенные паросочетания фактор-критических графов <tex>D_1,{...},D_n</tex>. Значит, рёбра паросочетания <tex>M</tex> соединяют вершины <tex>A</tex> с непокрытыми <tex>M'</tex> вершинами различных компонент связности из <tex>U_1,{...},U_n</tex>. 4) # Из пункта 3) сразу же следуют оба равенства пункта 4).
496
правок

Навигация