21
правка
Изменения
Дописан псевдокод
== Задача о количестве всех полных подграфов в графе ==
Дан граф <tex>G</tex>, в котором <tex>N</tex> вершин. Требуется подсчитать количество полных подграфов графа <tex>G</tex> (такие подграфы также называются '''кликами''' — ''clique'').
Наивное решение - перебор всех возможных подграфов и проверка для каждого, что он является кликой, сложность - <tex>O(2^N \times N^2)</tex>
Этот алгоритм можно улучшить до <tex>O(2^N)</tex>. Для этого нужно в рекурсивной функции перебора хранить маску вершин, которые мы ещё можем добавить. Поддерживая эту маску, можно добавлять только «нужные» вершины, и тогда, не нужно будет в конце проверять подграф на то что он — клика. Добавлять вершину можно за <tex>O(1)</tex>, используя побитовое «и» текущей маски и строчки матрицы смежности добавляемой вершины.
Решение с meet-in-the-middle.
Для одной клики <tex>K</tex> графа <tex>{G}_1</tex> может быть несколько подходящих клик в <tex>{G}_2</tex>. Единственным объектом для клики <tex>K</tex> является маска вершин графа <tex>{G}_2</tex>, которые ещё можно добавить. Для каждой такой маски в <tex>{G}_2</tex> нужно предподсчитать ответ.
С помощью метода динамического программирования предподсчитаем для каждой маски вершин графа <tex>{G}_2</tex> количество клик, вершины которой являются подмножеством выбранной маски. Количество состояний - <tex>2^{N/2}</tex>. Количество переходов:<tex>N</tex> . Асимптотика - <tex>O(2^{N/2} \times N)</tex>.
Для каждой клики <tex>K</tex> (в том числе и пустой) графа <tex>{G}_1</tex> прибавим к глобальному ответу предподсчитанное количество клик, которые можно добавить к <tex>K</tex> (В том числе и пустых). Асимптотика: <tex>O(2^{N/2})</tex>.
Псевдокод подсчёта ответа:
for mаsk = 0 to (1 << N)
dp[mask] = 1 + sum( [p[mask & matrix[i] for i = 0 to N if ((mask & ( 1 << i )) > 0))
ans = sum(dp[clique1_mask[i]])
Итоговая сложность: <tex>O(2^{N/2} \times N)</tex>
