85
правок
Изменения
→Явная формула
Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта формулы.
Следует заметить, что первый элемент каждой <tex>mn</tex>-той строки равен 1, а второй {{--- }} <tex>2^{mn} - (m n + 1)</tex>. Третий выражается как:<tex>3^{mn}-(m n + 1)2^m n + \frac{(mn+1)mn}{2};</tex>
и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в форме:
:<tex>\left\langle{mn\atop 10}\right\rangle = {{m n + 1} \choose {0}}1^{mn}</tex>:<tex>\left\langle{mn\atop 21}\right\rangle = - {{m n + 1} \choose {01}}21^{mn} + {{m n + 1} \choose {10}}12^{mn}</tex>:<tex>\left\langle{mn\atop 32}\right\rangle = {{m n + 1} \choose {02}}31^{mn} - {{m n + 1} \choose {1}}2^{mn} + {{m n + 1} \choose {20}}13^{mn} </tex>
Тогда нетрудно проверить, что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как:
:<tex>\left\langle{mn\atop nm}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{nm+1} (-1)^{nm-j+1} {mn+1\choose nm-j+1}j^{mn}</tex>
Существует также иная широко используемая явная формула:
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \sum\limits_{kj=0}^{m}(-1)^k j {n+1\choose kj} (m+1-kj)^n</tex> Убедимся в верности формул::<tex>\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = (-1)^{1-1+1} {4 \choose 1}1^3 + (-1)^(1-2+1) {4 \choose 0} 2^3 = -4+8 = 4;</tex>:<tex>\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = {4 \choose 0}(1+1-0)^3 - {4 \choose 1}(1+1-1)^3 = 1*8-4*1 = 4;</tex>
===Связь чисел Эйлера I рода с сечениями гиперкубов===
