105
правок
Изменения
м
Перенаправление на Алгоритм Тарьяна поиска LCA за O(1) в оффлайн
#перенаправление [[Алгоритм Тарьяна позволяет находить наименьшего общего предка двух вершин в дереве, если все запросы известны заранее (offline).Каждый запрос к дереву {{---}} это </tex>2</tex> вершины <tex>v</tex>,<tex>u</tex> для которых нужно найти такую вершину <tex>k</tex>, что <tex>k</tex>-предок вершин <tex>v</tex> и <tex>u</tex>, и <tex>k</tex> имеет максимальную глубину из всех таких вершин.Алгоритм позволяет найти ответы для дерева из n вершин и m запросов за время <tex>O (n + m)</tex>, т.е при достаточно большом m, поиска LCA за <tex>O (1)</tex> на запрос.== Алгоритм ==Подвесим наше дерево за любую вершину, и запустим [[Обход в глубину, цвета вершин|обход в глубину]] из её.Ответ на каждый запрос мы найдём в течение поиска в глубину. Ответ для вершин <tex>v</tex>, <tex>u</tex> находится, когда мы уже посетили вершину <tex>u</tex>, а так же посетили всех сыновей вершины <tex>v</tex>, и собираемся выйти из неё. Зафиксируем момент: мы собираемся выйти из вершины <tex>v</tex> (обработали всех сыновей) и хотим узнать ответ для пары <tex>v</tex>, <tex>u</tex>.FТогда заметим, что ответ {{---}} это либо вершина <tex>v</tex>, либо какой-то её предок. Значит, нам нужно найти предка вершины <tex>v</tex>, который является предком вершины <tex>u</tex> с наибольшей глубиной. Заметим, что при фиксированном <tex>v</tex> каждый из предков вершины <tex>v</tex> порождает некоторый класс вершин <tex>u</tex>, для которых он является ответом, в этом классе содержатся все вершины которые находятся "слева" от этого предка. На рисунке разные цвета {{---}} разные классы,а белые вершины ещё не просмотренные в <tex>dfs</tex>. Классы этих вершин не пересекаются, а значит мы их можем эффективно обрабатывать с помощью [[СНМ (реализация с помощью леса корневых деревьев)|dsu]]. Будем поддерживать массив <tex>ancestor[v]</tex> {{---}} представитель множества в котором содержится вершина <tex>v</tex>.Для каждого класса мы образуем множество, и представителя этого множества.Когда мы приходим в новую вершину <tex>v</tex> мы должны добавить её в новый класс (<tex>ancestor[v] = v</tex>), а когда просмотрим всё поддерево какого-то ребёнка, мы должны объединить это поддерево с нашим классом (операция <tex>union</tex>), и не забыть установить представителя как вершину <tex>v</tex> (в зависимости от реализации это может быть какая-то другая вершина). После того как мы обработали всех детей вершины <tex>v</tex>, мы можем ответить на все запросы вида (<tex>v</tex>,<tex>u</tex>) где <tex>u</tex> {{---}} уже посещённая вершина.Нетрудно заметить что ответ для <tex>lca(v, u) = ancestor[find(u)оффлайн]</tex>.Так же можно понять что для каждого запроса это условие (что одна вершина уже посещена, а другую мы обрабатываем) выполнится только один раз. Предположим, что нашли предка, который не является наименьшим, тогда это нас моментально приводит к противоречию, потому что запросмы должны были рассмотреть ранее {{---}} на минимальном предке. Если он не минимальный, значит, есть на какой-то большей глубине, то есть такая вершина, которая была посещена раньше и для которой условия на <tex>u</tex> и <tex>v</tex< выполнялись, значит, тогда должна была найтись эта вершина в качестве <tex>LCA</tex>. [[file:mytree.png|500px|разные цвета {{---}} разные классы, а белые вершины ещё не просмотренные в dfs]] === Реализация === bool visited[n]; vector <'''int'''> query[n]; '''int''' dsu_get (v : '''int''') '''if''' (v == dsu[v]) '''return''' v '''else''' '''return''' dsu[v] = dsu_get (dsu[v]); function unite (a : '''int''', b : '''int''', new_ancestor : '''int''' ) a = dsu_get (a); b = dsu_get (b); dsu[a] = b; ancestor[b] = new_ancestor; function dfs(v : '''int''') visited[v] = '''true'''; '''for''' (u таких, что (v, u) — ребро в G) '''if''' (not visited[u]) dfs(u); union(v, u, v); '''for''' (i = 0; i < query[v].size; i++) '''if''' (visited[query[v][i]]) cout << "LCA " << v << " " << u << " = " << ancestor[dsu_get(q[v][i])]; dfs(1); // можно запускать от любой вершины === Оценка сложности ===Она состоит из нескольких оценок. Во-первых, обход в глубину работает <tex>O (n)</tex>. Во-вторых, операции по объединению множеств, которые в сумме для всех разумных <tex>n</tex> затрачивают <tex>O (n)</tex> операций. Каждый запрос <tex>(u, v)</tex> будет рассмотрен дважды {{---}} при посещение вершины <tex>u</tex> и <tex>v</tex>, но обработан лишь один раз, поэтому можно считать, что все запросы обработаются суммарно за <tex>O (m)</tex>. В-третьих, для каждого запроса проверка условия и определение результата, опять же, для всех разумных <tex>n</tex> выполняется за <tex>O (1)</tex>. Итоговая асимптотика получается <tex>O (n + m)</tex>, но при достаточно больших <tex>m</tex> ответ за <tex>O (1)</tex> на один запрос.
