Дано дерево и набор запросов: пары вершин <tex>\langle v, u \rangle </tex>, и для каждой пары нужно найти наименьшего общего предка. Считаем, что все запросы известны заранее, поэтому будем решать задачу оффлайн.
Алгоритм позволяет найти ответы для дерева из <tex>n</tex> вершин и <tex>m</tex> запросов за время <tex>O (n + m)</tex>, то есть при достаточно большом <tex>m</tex>, за <tex>O (1)</tex> на запрос.
== Алгоритм ==
Подвесим наше дерево за любую вершину, и запустим [[Обход в глубину, цвета вершин|обход в глубину]] из неё.
Ответ на каждый запрос мы найдём в течение поиска в глубину. Ответ для вершин <tex>v</tex> и <tex>u</tex> находится, когда мы уже посетили вершину <tex>u</tex>, а так же посетили всех сыновей вершины <tex>v</tex>, и собираемся выйти из неё.
Зафиксируем момент: мы собираемся выйти из вершины <tex>v</tex> (обработали всех сыновей) и хотим узнать ответ для пары <tex>v</tex>, <tex>u</tex>.
Тогда заметим, что ответ {{---}} это либо вершина <tex>v</tex>, либо какой-то её предок. Значит, нам нужно найти предка вершины <tex>v</tex>, который является предком вершины <tex>u</tex> с наибольшей глубиной. Заметим, что при фиксированном <tex>v</tex> каждый из предков вершины <tex>v</tex> порождает некоторый класс вершин <tex>u</tex>, для которых он является ответом, в этом классе содержатся все вершины которые находятся "слева" от этого предка.
На рисунке разные цвета {{---}} разные классы, а белые вершины ещё не просмотренные в <tex>dfs</tex>.
Классы этих вершин не пересекаются, а значит мы их можем эффективно обрабатывать с помощью [[СНМ (реализация с помощью леса корневых деревьев)|системы непересекающихся множеств]], которую будем храниться в массиве <tex>dsu</tex>.
Будем поддерживать массив <tex>ancestor[v]</tex> {{---}} представитель множества в котором содержится вершина <tex>v</tex>.
Для каждого класса мы образуем множество, и представителя этого множества.
Когда мы приходим в новую вершину <tex>v</tex> мы должны добавить её в новый класс (<tex>ancestor[v] = v</tex>), а когда просмотрим всё поддерево какого-то ребёнка, мы должны объединить это поддерево с нашим классом (операция <tex>union</tex>), и не забыть установить представителя как вершину <tex>v</tex> (в зависимости от реализации это может быть какая-то другая вершина).
После того как мы обработали всех детей вершины <tex>v</tex>, мы можем ответить на все запросы вида <tex>\langle v, u \rangle </tex> где <tex>u</tex> {{---}} уже посещённая вершина.
Нетрудно заметить что ответ для <tex>lca<tex>\langle v, u \rangle </tex> = ancestor[find(u)]</tex>.Так же можно понять что для каждого запроса это условие (что одна вершина уже посещена, а другую мы обрабатываем) выполнится только один раз.
Предположим, что нашли предка, который не является наименьшим, тогда это нас моментально приводит к противоречию, потому что запросмы должны были рассмотреть ранее {{---}} на минимальном предке.
Если он не минимальный, значит, есть на какой-то большей глубине, то есть такая вершина, которая была посещена раньше и для которой условия на <tex>u</tex> и <tex>v</tex> выполнялись, значит, тогда должна была найтись эта вершина в качестве <tex>LCA</tex>.
[[file:mytree.png|500px|разные цвета {{---}} разные классы, а белые вершины ещё не просмотренные в dfs]]
=== Реализация ===
'''bool''' visited[n]
vector<'''int'''> query[n]
'''int''' dsuGet(v : '''int'''):
'''if''' v == dsu[v]
'''return''' v
'''else'''
'''return''' dsu[v] = dsuGet(dsu[v])
'''function''' union(a : '''int''', b : '''int''', newAncestor : '''int'''):
a = dsuGet(a)
b = dsuGet(b)
dsu[a] = b
ancestor[b] = newAncestor
<font color=green>// можно запустить от любой вершины дерева.</font>
'''function''' dfs(v : '''int'''):
visited[v] = ''true''
'''foreach''' u : (v, u) '''in''' G
'''if''' '''not''' visited[u]
dfs(u)
union(v, u, v)
'''for''' i = 0 '''to''' query[v].size - 1
'''if''' visited[query[v][i]]
запомнить, что ответ для запроса (v,u) = ancestor[dsuGet[q[v][i]]]
== Оценка сложности ==
Она состоит из нескольких оценок.
Во-первых, обход в глубину работает <tex>O (n)</tex>.
Во-вторых, операции по объединению множеств, которые в сумме для всех разумных <tex>n</tex> затрачивают <tex>O (n)</tex> операций.
Каждый запрос <tex>\langle v, u \rangle </tex> будет рассмотрен дважды {{---}} при посещение вершины <tex>u</tex> и <tex>v</tex>, но обработан лишь один раз, поэтому можно считать, что все запросы обработаются суммарно за <tex>O (m)</tex>.
В-третьих, для каждого запроса проверка условия и определение результата, опять же, для всех разумных <tex>n</tex> выполняется за <tex>O (1)</tex>. Итоговая асимптотика получается <tex>O (n + m)</tex>, но при достаточно больших <tex>m</tex> ответ за <tex>O (1)</tex> на один запрос.
== Источники информации ==
* [http://e-maxx.ru/algo/lca_linear_offline MAXimal :: algo :: Наименьший общий предок. Нахождение за O(1) в оффлайн (алгоритм Тарьяна) ]
* [http://habrahabr.ru/post/104772 Habrahabr {{---}} Система непересекающихся множеств и её применения]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Задача о наименьшем общем предке]]
