286
правок
Изменения
Нет описания правки
Дано [[Дерево, эквивалентные определения | дерево ]] <tex> G </tex> и набор запросов: пары вершин <tex>\langle v, u \rangle </tex>, и для . Для каждой пары нужно найти наименьшего общего предка. Считаем, что все запросы известны заранее, поэтому будем решать задачу оффлайн.Алгоритм позволяет найти ответы для дерева из <tex>n</tex> вершин и <tex>m</tex> запросов за время <tex>O (n + m)</tex>, то есть при достаточно большом <tex>m</tex>, за <tex>O (1)</tex> на запрос.
== Алгоритм ==
Подвесим наше дерево за любую вершину, и запустим [[Обход в глубину, цвета вершин|обход в глубину]] из неё.
Ответ на каждый запрос мы найдём в течение поиска в глубину. Ответ для вершин <tex>v</tex> и <tex>u</tex> находится, когда мы уже посетили вершину <tex>u</tex>, а так же также посетили всех сыновей вершины <tex>v</tex>, и собираемся выйти из неё.
Зафиксируем момент: мы собираемся выйти из вершины <tex>v</tex> (обработали всех сыновей) и хотим узнать ответ для пары <tex>\langle v</tex>, <tex>u \rangle</tex>.
Тогда заметим, что ответ {{---}} это либо вершина <tex>u</tex>, либо какой-то её предок. Значит, нам нужно найти предка вершины <tex>v</tex>, который является предком вершины <tex>u</tex> с наибольшей глубиной. Заметим, что при фиксированном <tex>v</tex> каждый из предков вершины <tex>v</tex> порождает некоторый класс вершин <tex>u</tex>, для которых он является ответом, в этом классе содержатся все вершины , которые находятся "слева" от этого предка.
На рисунке разные цвета {{---}} разные непосещённые вершины раскрашены в белый цвет, а посещённые разбиты на классы, а белые вершины ещё не просмотренные в <tex>dfs</tex>каждому из которых соответствует свой цвет.
=== Реализация ===
'''bool''' visited[n]
'''function''' union(a x : '''int''', b y : '''int''', newAncestor : '''int'''): a leader = dsuGetdsuUnion(ax, y) b <font color= dsuGet(b)green> // объединяем классы вершин <tex> x </tex> и <tex> y </tex> и получаем нового представителя класса </font> dsu lcaClass[aleader] = b ancestor[b] newAncestor <font color= newAncestorgreen> // устанавливаем нового предка представителю множества </font>
<font color=green>// можно запустить от любой вершины дерева.в самый первый раз</font>
'''function''' dfs(v : '''int'''):
visited[v] = ''true'' lcaClass[v] = v
'''foreach''' u : (v, u) '''in''' G
'''if''' '''not''' visited[u]
dfs(u)
union(v, u, v)
'''for''' i = 0 '''to''' query[(u : <tex>\langle v].size , u \rangle </tex> {{--- 1}} есть такой запрос) '''if''' visited[query[v][i]u] запомнить, что ответ для запроса <tex>\langle v, u \rangle </tex> = ancestorlcaClass[dsuGet[qfind[u]] == Корректность == Случай, когда <tex> u </tex> является наименьшим общим предком вершин <tex> u </tex> и <tex> v]</tex>, обработается правильно, потому что по алгоритму в этот момент <tex> lcaClass[i]]\mathrm{find}(u)]= u </tex>. Пусть теперь наименьшим общим предком вершин <tex> u </tex> и <tex> v </tex> будет вершина, отличная от этих двух. Во время обработки запроса алгоритм точно вернёт общего предка этих двух вершин, так как он будет предком одной из вершин по массиву <tex> lcaClass </tex>, а предком другой из-за обхода в глубину. Покажем, что найдём наименьшего предка. Пусть это не так. Тогда существует какая-то вершина <tex> w </tex>, которая тоже является предком вершин <tex> u </tex> и <tex> v </tex>, и из которой мы вышли раньше во время обхода в глубину. Но тогда ситуация, что одна из вершин посещена, а у другой рассмотрены все дети, должна была выполниться раньше, и в качестве ответа должна была вернуться вершина <tex> w </tex>. '''Замечание:''' для корректности алгоритма достаточно было бы одного массива <tex> dsu </tex>, а представителем класса всегда выбирать наименьшего общего предка вершин класса. Это несложно сделать, так как мы всегда объединяем ребёнка со своим родителем. Но в таком случае алгорим получился бы менее эффективным, потому что одна только эвристика сжатия путей работает недостаточно быстро.
== Оценка сложности ==
Она состоит из нескольких оценок.\begin{3}\item 12321\item 444\item 5+55\end{3}Во-первых, обход в глубину выполняет за <tex>O(n)</tex>. Во-вторых, операции по объединению множеств, которые в сумме для всех разумных <tex>n</tex> затрачивают <tex>O (n)</tex> операцийчастей.
*Обход в глубину выполняется за <tex>O(n)</tex>.*Операции по объединению множеств, которые в сумме для всех разумных <tex>n</tex> работают <tex>O (n)</tex> времени. Каждый запрос <tex>\langle v, u \rangle </tex> будет рассмотрен дважды {{---}} при посещение посещении вершины <tex>u</tex> и <tex>v</tex>, но обработан лишь один раз, поэтому можно считать, что все запросы обработаются суммарно за <tex>O (m)</tex>.*Для каждого запроса проверка условия и определение результата, опять же, для всех разумных <tex>n</tex> выполняется за <tex>O (1)</tex>.
== Источники информации ==