Изменения

Перейти к: навигация, поиск
м
Нет описания правки
Назовём {{Лемма|statement=Наличие двух различных рёберно простых путей между какими-либо двумя вершинами неориентированного [[Основные определения теории графов|графа]] <tex>G</tex> равносильно наличию цикла в этом графе.|proof=<tex>\Rightarrow</tex> Предположим, что в графе <tex>G</tex> существует два различных рёберно простых пути между вершинами <tex>u</tex> и <tex>v</tex>. Пусть это будут пути одинаковыми<tex>p = u e_1 v_1\ldots v_{n-1} e_n v</tex> и <tex>p' = u e'_1 v'_1\ldots v'_{n-1} e'_n v</tex>. Пусть их наибольший общий префикс заканчивается в вершине <tex>w = v_k = v'_k</tex>. Заметим, что <tex>w \neq v</tex>, если последовательности вершин т.к. пути различны. Рассмотрим суффиксы путей <tex>p</tex> и <tex>p'</tex>: <tex>s = w e_{k+1} \ldots v</tex> и <tex>s' = w e'_{k+1} \ldots v</tex> соответственно. Найдём первую совпадающую вершину <tex>w'</tex> в <tex>s</tex> и <tex>s'</tex>, не равную <tex>w</tex>. Осталось заметить, что замкнутый путь <tex>c</tex>, полученный объединением <tex>w \leadsto w'</tex> части пути <tex>s</tex> вместе с <tex>w' \leadsto w</tex> частью цепи <tex>s'</tex>, является циклическим путем. Действительно, в путях <tex>s</tex> и <tex>s'</tex> двух одинаковых рёбер графаподряд не бывает, т.к. это рёберно простые пути, а рёбра, задающие ихсмежные с <tex>w</tex> и <tex>w'</tex>, не совпадают полностьюпо построению. Циклический путь <tex>c</tex> является представителем некоторого цикла в графе <tex>G</tex>. <tex>\Leftarrow</tex> Предположим, что в графе <tex>G</tex> существует цикл и пусть циклический путь <tex>c = v_0 e_1 v_1 \ldots e_n v_0</tex> {{---}} его представитель. Найдём первую точку <tex>w = v_k = v_l (l > k)</tex> пересечения <tex>c</tex> с самим собой. Такая точка существует, т.к. путь замкнутый. Рассмотрим циклический путь <tex>v_k e_{k+1} \ldots e_l v_l</tex>: он простой, т. Иначе будем считать к. если это неверно и существует вершина <tex>v_j = v_j' (k < j < j' < l)</tex>, то в <tex>c</tex> вершина <tex>v_j'</tex> повторяется раньше, чем <tex>v_l</tex>. Теперь элементарно взяв две вершины <tex>v_k</tex> и <tex>v_{k+1}</tex> легко заметить, что существует два различных рёберно непересекающихся пути различнымимежду ними: <tex>v_k e_{k+1} v_{k+1}</tex> и <tex>v_k e_l v_{l - 1} \ldots v_k</tex>. }}[[Файл:2_paths_and_a_cycle.png|600px|thumb|center|Иллюстрация к лемме: пути отмечены соответственно <font color="f00000">красным</font> и <font color="0000f0">синим</font> (их общий префикс отмечен пунктиром), а циклический путь <tex>c</tex> проходит вдоль чёрных стрелок]]
{{Теорема
|statement=
Если между двумя [[Основные определения теории графов|вершинами неориентированного графа]] существуют два различных рёберно-простых [[Основные определения теории графов|пути]]в неориентированном графе существует цикл, то в этом графе существует простой цикл.
|proof=
Для доказательства этой теоремы введём определениеВыберем в графе минимальный по количеству рёбер цикл (он существует, потому что количество рёбер в любом цикле — натуральное число <ref>[[Натуральные и целые числа#.D0.A1.D1.83.D1.89.D0.B5.D1.81.D1.82.D0.B2.D0.BE.D0.B2.D0.B0.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.BD.D0.B0.D0.B8.D0.BC.D0.B5.D0.BD.D1.8C.D1.88.D0.B5.D0.B3.D0.BE_.D1.8D.D0.BB.D0.B5.D0.BC.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.B0|Существование наименьшего элемента в любом подмножестве <tex>\Bbb N</tex>]]</ref>). Предположим, что он не простой. Но тогда он содержит дважды одну и ту же вершину, т. е. содержит в себе цикл меньшего размера, что противоречит тому, что наш цикл минимальный. Таким образом, этот цикл — простой.}}
{{Определение[[Файл:Simple cycle.png|definition='''Простой (вершинно-простой) thumb|580px|center|В графе минимальный цикл''' включает в графе – себя три ребра — например, [[Основные определения теории графов|цикл2 - 5 - 6]], в котором каждая из вершин графа встречается не более одного раза(выделен <font color="red">красным</font>).}}ОчевидноСогласно теореме, это условие не распространяется на первую и последнюю вершины циклаон является простым.<br>]]
== Замечания ==Возьмём два существующих пути между нужными нам вершинами: <tex>V_0E_1V_1E_2V_2 ... E_nV_n</tex>* Так как вершинно-простой путь всегда является рёберно-простым, <tex>v_0e_1v_1e_2v_2 первая теорема справедлива и для вершинно-простых путей (усиление условия)... e_mv_m</tex>, <tex>V_0 = v_0</tex>, <tex>V_n = v_m</tex>. Удалим из них одинаковые префиксы и суффиксы* Так как вершинно-простой цикл всегда является рёберно-простым, оставив из них только последние первая теорема справедлива и первые вершины, соответственнодля рёберно-простого цикла (ослабление результата). Оставшиеся пути: <tex>V_aE_{a+1} ... E_bV_b</tex>, <tex>v_ae_{a+1} ... e_cv_c</tex>, <tex>V_a Утверждение|about= v_a</tex>, <tex>V_b неверное|statement= v_c</tex>''Если две вершины графа лежат на цикле, <tex>E_{a+1} \neq e_{a+1}</tex>, <tex>E_b \neq e_c</tex>то они лежат на простом цикле.''|proof=Рассмотрим конкатенацию первого нового пути и развёрнутого второго нового пути. Она будет цикломВ общем случае неверно, так как начальная и конечная эти вершины совпадают, изначально пути были рёберно-простыми, а в точке соединения, равно как и могут лежать в точке замыкания цикла, условие различности двух идущих подряд рёбер выполняется. Мы получили цикл, определим егоразных компонентах вершинной или рёберной двусвязности: <tex>V_0E_1V_1 ... E_kV_k</tex>, <tex>V_0 = V_k</tex>. * Алгоритм: 1. Для все пути из одной вершины <tex>V_i</tex> найдём момент её последнего вхождения в цикл – <tex>V_j</tex>. 2. Удалим отрезок цикла от <tex>E_{i+1}</tex> до <tex>V_j</tex>, включительно. Получившаяся последовательность вершин другую будут содержать одну и рёбер графа останется цикломту же [[Точка сочленения, и в нём вершина <tex>V_i</tex> будет содержаться ровно эквивалентные определения|точку сочленения]] или один раз.Начнём процесс с вершины <tex>V_1</tex> и будем повторять его каждый раз для следующей вершины нового цикла, пока не дойдём до последней. По построениютот же [[Мост, получившийся цикл будет содержать каждую из вершин графа не более одного раза, а значит, будет простымэквивалентные определения|мост]].
}}
== Замечания Примечания ==* Наличие двух различных рёберно-простых путей между какими-либо вершинами графа равносильно наличию [[Основные определения теории графов|цикла]] в этом графе.* Так как вершинно-простой путь всегда является рёберно-простым, данная теорема справедлива и для вершинно-простых путей (усиление условия).* Так как вершинно-простой цикл всегда является рёберно-простым, данная теорема справедлива и для рёберно-простого цикла (ослабление результата).* Утверждение Если две вершины графа лежат на цикле, то они лежат на простом цикле.в общем случае неверно, так как эти вершины могут лежать в разных компонентах вершинной или рёберной двусвязности: все пути из одной вершины в другую будут содержать одну и ту же точку сочленения или один и тот же мост.<references/>
== См. также ==
* [[Теорема о существовании простого пути в случае существования пути]]
* [[Отношение рёберной двусвязности]]
* [[Отношение вершинной двусвязности]]
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Навигация