Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Сортировка кучей

2539 байт добавлено, 16 январь
м
Нет описания правки
'''Сортировка кучей''', '''пирамидальная сортировка''' (англ. '''Heapsort''') {{---}} алгоритм сортировки, использующий структуру данных [[Двоичная куча|двоичная куча]]. Это неустойчивый алгоритм сортировки с временем работы <tex>O(n\log{n})</tex> , где <tex>n</tex> {{---}} количество элементов для сортировки, и использующий <tex>O(1)</tex> дополнительной памяти.
== Алгоритм ==
Необходимо отсортировать массив <tex>A</tex>, размером <tex>n</tex>. Построим на базе этого массива за <tex>O(n)</tex> невозрастающую кучудля максимума. Так как по свойству кучи максимальный элемент находится в корне, то, поменявшись если поменять его местами с <tex>A[n - 1]</tex>, он встанет на свое своё место. Далее вызовем процедуру <tex>sift\_downmathrm{siftDown(0)} </tex>, предварительно уменьшив <tex>heap\_sizemathrm{heapSize} </tex> на <tex>1</tex>. Она за <tex>O(\log{n})</tex> просеет <tex>A[0]</tex> на нужное место и сформирует новую кучу (так как мы уменьшили ее её размер, то куча располагается с <tex>A[0]</tex> по <tex>A[n - 2]</tex>, а элемент <tex>A[n-1]</tex> находится на своем своём месте). Повторим эту процедуру для новой кучи, только корень будет менять местами не с <tex>A[n - 1]</tex>, а с <tex>A[n-2]</tex>. Делая аналогичные действия, пока <tex>heap\_sizemathrm{heapSize} </tex> не станет равен <tex>1</tex>, мы будем ставить наибольшее из оставшихся чисел в конец не отсортированной части. Очевидно, что таким образом, мы получим отсортированный массив.
== Реализация ==
*<tex>\mathrm{A}</tex> {{---}} массив, который необходимо отсортировать; *<tex>\mathrm{n}</tex> {{---}} количество элементов в нем; нём*<tex>build\_heapmathrm{buildHeap(A)} </tex> {{-- -}} процедура, которая строит из передаваемого массива невозрастающую кучу для максимума в этом же массиве; *<tex>sift\_downmathrm{siftDown(A, i, len)} </tex> {{---}} процедура, которая просеивает вниз элемент <tex>\mathrm{A[i]} </tex> в куче из <tex>\mathrm{len} </tex> элементов, находящихся в начале массива <tex>\mathrm{A} </tex>. '''fun''' heapSort(A : '''list <preT>heapsort(A'''): build_heap buildHeap(A); heap_size heapSize = A.size; '''for ''' i = 0 '''to ''' n - 2 swap(A[0], A[n - 1 - i]); heap_size heapSize--; sift_down siftDown(A, 0, heap_sizeheapSize);</pre>
== Сложность ==
Операция <tex>sift\_downmathrm{siftDown} </tex> работает за <tex>O(\log{n})</tex>. Всего цикл выполняется <tex>(n - 1)</tex> раз. Таким образом сложность сортировки кучей является <tex>O(n\log{n})</tex>.
Достоинства:
* худшее время работы {{---}} <tex>O(n\log{n})</tex>,
* требует <tex>O(1)</tex> дополнительной памяти.
Недостатки:
* неустойчивая,
* на почти отсортированных данных работает столь же долго, как и на хаотических данных.
== Пример ==
|[[Файл:heap4.png|155px|thumb|Второй проход]]
|[[Файл:heap5.png|155px|thumb|Третий проход]]
|[[Файл:heap6.png|155px|thumb|Четвертый Четвёртый проход]]
|}
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''4''' 3 2 1 5
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Строим кучу из первых четырех четырёх элементов
|-
|colspan=3|''Второй проход''
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''1''' 3 2 '''4''' 5
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Меняем местами первый и четвертый четвёртый элементы
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''3''' 1 2 4 5
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Строим кучу из первых трех трёх элементов
|-
|colspan=3|''Третий проход''
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Строим кучу из двух элементов
|-
|colspan=3|''Четвертый Четвёртый проход''
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''1''' '''2''' 3 4 5
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Массив отсортирован
|}
 
 
= JSort =
'''JSort''' является модификацией сортировки кучей, которую придумал Джейсон Моррисон (''Jason Morrison'').
Алгоритм частично упорядочивает массив, строя на нем нём два раза кучу: один раз передвигая меньшие элементы влево, второй раз передвигая большие элементы вправо.Затем к массиву применяетсяДосортировав массив [[Сортировка вставками|сортировкой сортировка вставками]], можно получить временную сложность которая при почти отсортированных данных работает за <tex>O(n)</tex> в лучшем случае.
Достоинства:
*В отличие от сортировки кучей, на почти отсортированных массивах работает быстрее, чем на случайных.
*В силу использования сортировки вставками, которая просматривает элементы последовательно, использование кэша гораздо эффективнее.
Недостатки:
*На длинных массивах, возникают плохо отсортированные последовательности в середине массива, что приводит к ухудшению работы сортировки вставками.
=== Алгоритм ===
 Необходимо отсортировать массив.Построим невозрастающую кучу для минимума на этом массиве.
Тогда наименьший элемент окажется на первой позиции, а левая часть массива окажется почти отсортированной, так как ей будут соответствовать верхние узлы кучи.
Теперь построим на этом же массиве кучу так, чтобы немного упорядочить правую часть массива. Эта куча должна быть неубывающей кучей для максимума и быть "зеркальной" к массиву, то есть чтобы ее её корень соответствовал последнему элементу массива.Получившийся почти отсортированный массив досортируем сортировкой К получившемуся массиву применим сортировку вставками.
=== Сложность ===
Постройка Построение кучи занимает <tex>O(n)</tex>.Сортировка Почти упорядоченный массив сортировка вставками может отсортировать массив за <tex>O(n)</tex> , но в лучшем худшем случае, и за <tex>O(n^2)</tex> в худшем.
Таким образом временная сложность JSort является , наихудшая оценка Jsort {{---}} <tex>O(n^2)</tex>.
=== Пример ===
Рассмотрим, массив <tex> A </tex> = <tex> [1, 2, 8, 15, 17, 20, 31, 32, 30, 2, 3, 5, 10, 11, 24 ] </tex>
Построим на этом массиве кучу для минимума:{| cellpadding="3" style="margin-left: left; margin-right: left;"| [[Файл:HeapW.png|400px]] |}Массив выглядит следующим образом:{| cellpadding="3" style="margin-left: left; margin-right: left;"| [[Файл:JSortHeapM.gifpng|400px]]|}Заметим, что начало почти упорядочено, что хорошо скажется на использовании сортировки вставками.
Построим теперь зеркальную кучу для максимума на этом же массиве.{| cellpadding="3" style= Ссылки == "margin-left: left; margin-right: left;"*| [[httpФайл://ruHeapWU.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%B4%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B0 Пирамидальная сортировка - Википедияpng|400px]]*[http|}Массив будет выглядеть следующим образом:{| cellpadding="3" style="margin-left://en.wikipedia.org/wiki/Heapsort Heapsort left; margin- Wikipedia]right: left;"*| [http[Файл://enHeapMU.wikipedia.org/wiki/JSort JSort - Wikipediapng|400px]]*[http://habrahabr|}Теперь и конец массива выглядит упорядоченным, применим сортировку вставками и получим отсортированный массив.ru/post/221095/ Описание сортировки кучей и JSort - Хабрахабр]
== Литература См. также ==*''Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К.'' Алгоритмы: построение и анализ, 2-е издание. М.: Издательский дом "Вильямс", 2005. ISBN 5-8459-0857-4[[Сортировка слиянием]]* [[Быстрая сортировка]]* [[Теорема о нижней оценке для сортировки сравнениями]]
== Источники информации ==
* Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К. Алгоритмы: построение и анализ, 2-е издание. Издательский дом "Вильямс", 2005. ISBN 5-8459-0857-4
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Heapsort Wikipedia {{---}} Heapsort]
*[http://en.wikipedia.org/wiki/JSort Wikipedia {{---}} JSort]
*[http://habrahabr.ru/post/221095/ Хабрахабр {{---}} Описание сортировки кучей и JSort]
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/Пирамидальная_сортировка Википедия {{---}} Пирамидальная сортировка]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Сортировки]]

Навигация