Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Получение номера по объекту

5974 байта добавлено, 10 июнь
Исправил опечатку с $$
== Описание алгоритма ==
Номер данного [[Комбинаторные объекты|комбинаторного объекта]] равен количеству меньших в [[Лексикографический порядок|лексикографическом порядке]] комбинаторных объектов (нумерацию ведём с <tex>0</tex>). Все объекты меньшие данного можно разбить на непересекающиеся группы по длине совпадающего префикса. Тогда количество меньших объектов можно представить как сумму количеств объектов у которых префикс длины <tex>i</tex> совпадает, а <tex>i+1</tex> элемент лексикографически меньше <tex>(i+1)</tex>-го в данном объекте (<tex>i = 0..n-1</tex>). Следующий алгоритм вычисляет эту сумму:*<tex>\mathtt{numOfObject}</tex> {{---}} искомый номер комбинаторного объекта.,*<tex>\mathtt{a[1..n]}</tex> {{---}} данный комбинаторный обьект, состоящий из числовых представлений лексикографически упорядоченных элементов множества <tex>A</tex>.,*<tex>\mathtt{d[i][j]}</tex> {{--- (}} количество комбинаторных объектов с префиксом от <tex>1 </tex> до <tex>i-1</tex> равным данному и с <tex>i</tex>-м элементом равным <tex>j</tex>),
'''int''' object2num(a: '''list <A>''') :
numOfObject = 0
'''for''' i = 1 '''to''' n '''do''' <font color=green>// перебираем элементы комбинаторного объекта</font> '''for''' j = 1 '''to''' a[i] - 1 '''do''' <font color=green>// перебираем элементы, которые в лексикографическом порядке меньше меньшие рассматриваемого</font>
'''if''' элемент <tex>j</tex> можно поставить на <tex>i</tex>-e место
numOfObject += d[i][j]
'''return''' numOfObject
Сложность алгоритма {{---}} <tex>O(nk) </tex>, где <tex>k</tex> {{- --}} количество различных элементов, которые могут находиться в данном комбинаторном объекте. Например, для битового вектора <tex>k=2,</tex> поскольку возможны только <tex>0</tex> и <tex>1</tex>. Количества комбинаторных объектов с заданными префиксами считаются известными, и их подсчет в сложности не учитывается.
Приведем примеры способов получения номеров некоторых из комбинаторных объектов по данному объекту.
 
== Битовые вектора ==
Рассмотрим алгоритм получения номера <tex>i</tex> в лексикографическом порядке данного битового вектора размера <tex>n</tex>.
Всего существует <tex>2^n</tex> битовых векторов длины <tex>n</tex>.
На каждой позиции может стоять один из двух элементов независимо от того, какие элементы находятся в префиксе, поэтому поиск элементов меньше рассматриваемого можно упростить до проверки элемента на равенство <tex>1</tex>:
*<tex>\mathtt{bitvector[1..n]}</tex> {{---}} данный вектор,
*<tex>\mathtt{numOfBitvector}</tex> {{---}} искомый номер вектора,
 
'''int''' bitvector2num(bitvector: '''list<int>'''):
numOfBitvector = 0
'''for''' i = 1 '''to''' n
'''if''' bitvector[i] == 1
numOfBitvector += <tex>2^{n-i}</tex>
'''return''' numOfBitvector
 
Асимптотика алгоритма {{---}} <tex>O(n) </tex>.
== Перестановки ==
Рассмотрим алгоритм получения номера в лексикографическом порядке по данной перестановке размера <tex>n</tex>.,*<tex>P\mathtt{a[1..n]}</tex> {{---}} количество перестановок данного размера.данная перестановка,*<tex>a\mathtt{P[1..n]}</tex> {{---}} данная перестановка.количество перестановок данного размера,*<tex>\mathtt{was[1..n]}</tex> {{---}} использовали ли мы уже эту цифру в перестановке.,
'''functionint''' permutation2num(a: '''list <int>'''):
numOfPermutation = 0
'''for''' i = 1 '''to''' n '''do''' <font color=green>// <tex>n</tex> {{- --}} количество элементов в перестановке</font> '''for''' j = 1 '''to''' a[i] - 1 '''do''' <font color=green>// перебираем элементы, лексикографически меньшие нашего, которые могут стоять на <tex>i</tex>-м месте</font> '''if''' was[j] == ''false '' <font color=green>// если элемент <tex>j</tex> ранее не был использован</font>
numOfPermutation += P[n - i] <font color=green>// все перестановки с префиксом длиной <tex>i-1</tex> равным нашему, и <tex>i</tex>-й элемент у которых</font>
<font color=green>меньше нашего в лексикографическом порядке, идут раньше данной перестановки</font>
was[a[i]] = ''true '' <font color=green>// <tex>i</tex>-й элемент использован</font>
'''return''' numOfPermutation
Данный алгоритм работает за Асимптотика алгоритма {{---}} <tex>O(n ^ 2) </tex> и <tex>O(n) </tex> для предподсчёта. == Сочетания ==Рассмотрим алгоритм получения номера в лексикографическом порядке данного сочетания из <tex>n</tex> по <tex>k</tex>.Как известно, количество сочетаний из <tex>n</tex> по <tex>k</tex> обозначается как <tex dpi=140>\binom{n}{k}</tex>. Тогда число сочетаний, в которых на позиции <tex>1</tex> стоит значение <tex>val_1</tex>, равно <tex dpi=140>\sum\limits^{val_1-1}_{i=1} {\binom{n-i}{k-1}}</tex>; число сочетаний, в которых на позиции <tex>2</tex> стоит значение <tex>val_2</tex>, равно <tex dpi=140>\sum\limits^{val_2-1}_{i=val_1+1} {\binom{n-i}{k-2}}</tex>. Аналогично продолжаем по следующим позициям:*<tex>\mathtt{numOfChoose}</tex> {{---}} искомый номер сочетания,*<tex>\mathtt{C[n][k]}</tex> {{---}} количество сочетаний из <tex>n</tex> по <tex>k</tex>, <tex>\mathtt{C[n][0] = 1}</tex>,*<tex>\mathtt{choose[1..K]}</tex> {{---}} данное сочетание, состоящее из <tex>K</tex> чисел от <tex>1</tex> до <tex>N</tex>, из технических соображений припишем ноль в начало сочетания: <tex>\mathtt{choose[0] = 0}</tex>,  '''int''' choose2num(choose: '''list<int>'''): numOfChoose = 0 '''for''' i = 1 '''to''' K '''for''' j = choose[i - 1] + 1 '''to''' choose[i] - 1 numOfChoose += C[N - j][K - i] '''return''' numOfChoose
Асимптотика алгоритма {{---}} <tex>O(K \cdot N) </tex> и <tex>O(K \cdot N) </tex> для предподсчёта. == Битовые вектора Разбиение на слагаемые ==Рассмотрим алгоритм получения номера , в лексикографическом порядке, по данному разбиению на слагаемые числа <tex>iN</tex> в лексикографическом порядке данного битового вектора размера . Нужно помнить о том, что разбиения, отличающиеся только порядком слагаемых, считаются одинаковыми. Из всех разбиений, получаемых перестановками слагаемых, выберем то, где слагаемые упорядочены лексикографически, и будем строить его.  *<tex>n\mathtt{numOfPart}</tex>.{{---}} искомый номер разбиенияВсего существует *<tex>2^n\mathtt{last}</tex> битовых векторов длины {{---}} последнее поставленное число в разбиении.*<tex>n\mathtt{sum}</tex>{{---}} сумма, которую мы уже поставили.На каждой позиции может стоять один из двух элементов независимо от того, какие элементы находятся в префиксе, поэтому поиск меньших элементов можно упростить до условия: *<tex>\mathtt{part[1 \ldots N]}</tex> {{---}} данное разбиение*<tex>numOfBitvector\mathtt{d[i][j]}</tex> {{---}} искомый номер вектораколичество разбиений числа <tex>i</tex> на слагаемые, где каждое слагаемое <tex>\geqslant j</tex>.  *Пересчитывать <tex>bitvector\mathtt{d[i][1..nj]}</tex> будем по возрастанию <tex>i</tex>, а при равенстве <tex>i</tex> {{---}} данный векторпо убыванию <tex>j</tex>Разбиение числа, в котором каждое слагаемое <tex> \geqslant j</tex> может либо содержать слагаемое <tex>j</tex> (таких разбиений <tex>\mathtt{d[i - j][j]}</tex>), либо не содержать (таких разбиений <tex>\mathtt{d[i][j + 1]}</tex>).  Получаем рекуррентное соотношение для подсчёта <tex>d</tex>: <p><tex dpi = "145">d[i][j] = \left \{\begin{array}{ll} 1, & i = j, \\ 0, & i < j \\ d[i][j + 1] + d[i - j][j], & i > j \end{array} \right. </tex></p>   '''int''' part2num(part: '''list<int>'''): numOfPart = 0, last = 0, sum = 0 '''for''' i = 1 '''to''' part.size '''for''' j = last '''to''' part[i] - 1 <font color=green>// перебираем все элементы, лексикографически меньшие текущего, но не меньшие предыдущего</font> numOfPart += d[N - sum - j][j] <font color=green>// прибавляем количество перестановок, которые могли начинаться с <tex>j</tex></font> sum += part[i] <font color=green>// увеличиваем уже поставленную сумму</font> last = part[i] <font color=green>// обновляем последний поставленный элемент </font> '''return''' numOfPart <font color=green>// возвращаем ответ</font>
'''function''' bitvector2num(bitvector: '''list Стоит отметить, что количество итераций вложенного цикла не более, чем <tex>N</tex>, так как всего количество возможных слагаемых {{---}} <tex>N</tex>, и ни какое из них цикл не обработает дважды, поскольку каждый раз начинает с <tex>last<int/tex>''') numOfBitvector = 0 '''for''' i = 1 '''to''' n '''do''' '''if''' bitvector[i] == 1 numOfBitvector += pow(2, n которое больше чем любое из обработанных чисел. Поэтому асимптотика алгоритма {{--- i}} <tex>O(N) '''return''' numOfBitvector</tex>.
Данный алгоритм работает за Асимптотика алгоритма {{---}} <tex>O(nN) </tex>и <tex>O(N^2)</tex> на предподсчёт.
== Скобочные последовательности ==
*[http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8#.D0.9F.D0.BE.D0.BB.D1.83.D1.87.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.BD.D0.BE.D0.BC.D0.B5.D1.80.D0.B0_.D0.BF.D0.BE.D1.81.D0.BB.D0.B5.D0.B4.D0.BE.D0.B2.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B8 Получение номера правильной скобочной последоватеьности]
== См. также ==
*[[Получение объекта по номеру|Получение объекта по номеру]]
*[[Получение следующего объекта|Получение следующего объекта]]
*[[Правильные скобочные последовательности#.D0.9F.D0.BE.D0.BB.D1.83.D1.87.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.BD.D0.BE.D0.BC.D0.B5.D1.80.D0.B0_.D0.BF.D0.BE.D1.81.D0.BB.D0.B5.D0.B4.D0.BE.D0.B2.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B8|Получение номера правильной скобочной последовательности]]
== Источники информации ==
*Программирование в алгоритмах / С. М. Окулов. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2002. стр.31
*Дискретная математика. Теория и практика решения задач по информатике / С. М. Окулов. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008.
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Комбинаторика]]
Анонимный участник

Навигация