Изменения

Среди всех укладок графа <math>G'</math> на плоскости и среди всех циклов <math>C</math>, содержащих <math>a</math> и <math>b</math>, зафиксируем такую укладку и такой цикл, что внутри области, ограниченной циклом <math>C</math>, лежит максимальное возможное число граней графа <math>G'</math>. Зафиксируем один из обходов по циклу <math>C</math> (на рисунках будем рассматривать обход по часовой стрелке по циклу <math>C</math>). Для вершин <math>u</math> и <math>v</math> цикла <math>C</math> через <math>C[u,v]</math> будем обозначать простую <math>(u,v)</math>-цепь, идущую по циклу <math>C</math> от <math>u</math> до <math>v</math> в направлении обхода цикла. Конечно, <math>C[u,v] ≠ C[v,u]</math>. Положим <math>C(u,v) = C[u,v]\{u,v}</math>, т.е. <math>C(u,v)</math> получено из <math>C[u,v]</math> отбрасыванием вершин <math>u</math> и <math>v</math>.

|definition =

Внешним графом (относительно цикла <math>C</math>) будем называть подграф графа <math>G'</math>, порождённый всеми вершинами графа <math>G'</math>, лежащими снаружи от цикла <math>C</math>.

}}

|definition =

Внешними компонентами будем называть компоненты связности внешнего графа.

}}

В силу связности графа <math>G'</math> для любой внешней компоненты должны существовать рёбра в <math>G'</math>, соединяющие её с вершинами цикла <math>C</math>.

|definition =

Внешними частями будем называть:

б) рёбра графа <math>G'</math>, лежащие снаружи от цикла <math>C</math> и соединяющие две вершины из <math>C</math>, вместе с инцидентными такому ребру вершинами.

}}

|definition =

Внутренним графом (относительно цикла <math>C</math>) будем называть подграф графа <math>G'</math>, порождённый всеми вершинами графа <math>G'</math>, лежащими внутри цикла <math>C</math>.

}}

|definition =

Внутренними компонентами будем называть компоненты связности внутреннего графа.

}}

В силу связности графа <math>G'</math> для любой внутренней компоненты должны существовать рёбра в <math>G'</math>, соединяющие её с вершинами цикла <math>C</math>.

|definition =

Внутренними частями будем называть:

}}

Будем говорить, что внешняя (внутренняя) часть ''встречает цикл'' <math>C</math> в своих точках прикрепления к циклу <math>C</math>.

|statement =

Любая внешняя часть встречает цикл <math>C</math> точно в двух точках, одна из которых лежит в <math>C(a,b)</math>, а другая - в <math>C(b,a)</math>.

Итого, внешняя часть встречает цикл <math>C</math> хотя бы в двух точках, никакие две из которых не лежат в <math>C[a,b]</math> и <math>C[b,a]</math>. То есть ровно одна лежит в <math>C[a,b]</math> и ровно одна - в <math>C[b,a]</math>.

}}

|definition =

Ввиду утверждения 5 будем говорить, что любая внешняя часть является <math>(a,b)</math>-разделяющей частью, поскольку она встречает и <math>C(a,b)</math>, и <math>C(b,a)</math>.

}}

Аналогично можно ввести понятие <math>(a,b)</math>-разделяющей внутренней части. Заметим, что внутрення часть может встречать цикл <math>C</math>, вообще говоря, более чем в двух точках, но не менее чем в двух точках.

|statement =

Существует хотя бы одна <math>(a,b)</math>-разделяющая внутренняя часть.

Пусть, от противного, таких частей нет. Тогда, выходя из <math>a</math> внутри области, ограниченной <math>C</math>, и двигаясь вблизи от <math>C</math> по направлению обхода <math>C</math> и вблизи от встречающиъся внутренних частей, можно уложить ребро <math>e = ab</math> внутри цикла <math>C</math>, т.е. <math>G</math> - планарный граф, что невозможно.

}}

|statement =

Существует внешняя часть, встречающая <math>C(a,b)</math> в точке <math>c</math> и <math>C(b,a)</math> - в точке <math>d</math>, для которой найдётся внутренняя часть, являющаяся одновременно <math>(a,b)</math>-разделяющей и <math>(c,d)</math>-разделяющей.