Изменения

|statement=Наличие двух различных рёберно-простых путей между какими-либо двумя вершинами неориентированного [[Основные определения теории графов|графа ]] <tex>G</tex> равносильно наличию цикла в этом графе.

"<tex>\Rightarrow</tex>"

Предположим, что в графе <tex>G</tex> существует два различных реберно-рёберно простых пути между вершинами <tex>u</tex> и <tex>v</tex>. Пусть это будут пути <tex>p = u e_1 v_1\ldots v_{n-1} e_n v</tex> и <tex>p' = u e'_1 v'_1\ldots v'_{n-1} e'_n v</tex>. Пусть их наибольший общий префикс заканчивается в вершине <tex>w = v_k = v'_l</tex>. Заметим, что <tex>w \neq v</tex>, т. к. пути различны. Рассмотрим суффиксы путей <tex>p</tex> и <tex>p'</tex>: <tex>s = w e_{k+1} \ldots v</tex> и <tex>s' = w e'_{l+1} \ldots v</tex> соответственно. Найдем первую совпадающую вершину <tex>w'</tex> в <tex>s</tex> и <tex>s'</tex>, не равную <tex>w</tex>. Осталось заметить, что замкнутый путь <tex>c</tex>, полученный объединением <tex>w \rightarrow leadsto w'</tex> части пути <tex>s</tex> вместе с <tex>w' \rightarrow leadsto w</tex> частью цепи <tex>s'</tex> , является циклическим путем. Действительно, т. r. в путях <tex>s</tex> и <tex>s'</tex> двух ребер одинаковых рёбер подряд не бывает, т.к. это реберно рёберно простые пути, а ребрарёбра, смежные с <tex>w</tex> и <tex>w'</tex> , не совпадают по построению. Циклический путь <tex>c</tex> является представителем некоторого цикла в графе <tex>G</tex>.

"<tex>\Leftarrow</tex>"

Предположим, что в графе <tex>G</tex> существует цикл и пусть циклический путь <tex>c = v_0 e_1 v_1 \ldots e_n v_0</tex> {{---}} его представитель. Найдем первую точку <tex>w = v_k = v_l (l > k)</tex> пересечения <tex>c</tex> с самим собой. Необходимо такая Такая точка существует, т.к. путь замкнутый. Рассмотрим циклический путь <tex>v_k e_{k+1} \ldots e_l v_l</tex>: он простой, т. к. если это неверно и существует вершина <tex>v_j = v_j' (k < j < j' < l)</tex>, то в <tex>c</tex> вершина <tex>v_j'</tex> повторяется раньше, чем <tex>v_l</tex>. Теперь элементарно взяв две вершины <tex>v_k</tex> и <tex>v_{k+1}</tex> легко заметить, что существует два различных реберно-неперсекающихся рёберно непересекающихся пути между ними: <tex>v_k e_{k+1} v_{k+1}</tex> и <tex>v_k e_l v_{l - 1} \ldots v_k</tex>.

* {{Утверждение |statement=''Если две вершины графа лежат на цикле, то они лежат на простом цикле.''}}в общем случае неверно, так как эти вершины могут лежать в разных компонентах вершинной или рёберной двусвязности: все пути из одной вершины в другую будут содержать одну и ту же [[Точка сочленения, эквивалентные определения|точку сочленения ]] или один и тот же [[Мост, эквивалентные определения|мост]].