Изменения

# Каждый класс <tex>R</tex> текущего разбиения разбиваются на 2 подкласса (один из которых может быть пустым). Первый состоит из состояний, которые по символу <tex>a</tex> переходят в сплиттер (<tex>(R_1)</tex>), а второй из всех оставшихся (<tex>(R_2)</tex>). # Если <tex>R</tex> разбился на два непустых подкласса (т.е. то есть <tex> R_1 \ne \emptyset \ \land \ R_2 \ne \emptyset </tex>).

*<tex>\mathtt{Q}</tex> {{---}} множество состояний ДКА.,*<tex>\mathtt{F}</tex> {{---}} множество терминальных состояний.,*<tex>\mathtt{\delta}</tex> {{---}} функция перехода (<tex>\delta (r,\ a)</tex> {{---}} состояние, в которое можно совершить переход из <tex>r</tex> по символу <tex>a</tex>),*<tex>\mathtt{S}</tex> {{---}} очередь пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>.,*<tex>\mathtt{P}</tex> {{---}} разбиение множества состояний ДКА.,*<tex>\mathtt{R}</tex> {{---}} класс состояний ДКА.

'''function''' findEquivalenceClasses<tex>\mathtt{findEquivalenceClasses}(Q,\ F,\ \delta)</tex>:'''vector'''

'''push''' <tex>\langle F,\ c \rangle</tex>, <tex>\langle Q \setminus F,\ c \rangle</tex> '''into''' <tex> \mathtt{S}</tex>

<tex>\langle C,\ a \rangle</tex> <tex>\leftarrow</tex> '''pop''' '''from''' <tex>\mathtt{S}</tex>

''' replace''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex> '''with''' <tex>R_1</tex> '''and''' <tex>R_2</tex> '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex> ''' insert''' <tex>\langle R_1,\ c \rangle</tex> '''in''' <tex>\mathtt{S}</tex> ''' insert''' <tex>\langle R_2,\ c \rangle</tex> '''in''' <tex>\mathtt{S}</tex>

*<tex>\mathtt{Q}</tex> {{---}} множество состояний ДКА.,*<tex>\mathtt{F}</tex> {{---}} множество терминальных состояний.,*<tex>\mathtt{\delta}</tex> {{---}} функция перехода (<tex>\delta (r,\ a)</tex> {{- --}} состояние, в которое можно совершить переход из <tex>r</tex> по символу <tex>a</tex>),*<tex>\mathtt{S}</tex> {{---}} очередь пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>.,*<tex>\mathtt{P}</tex> {{---}} разбиение множества состояний ДКА.,*<tex>\mathtt{R}</tex> {{---}} класс состояний ДКА.

'''function''' findEquivalenceClasses<tex>\mathtt{findEquivalenceClasses}(Q,\ F,\ \delta)</tex>:'''vector'''

'''push''' <tex>\langle F,\ c \rangle</tex>, <tex>\langle Q \setminus F,\ c \rangle</tex> '''into''' <tex> \mathtt{S}</tex>

<tex>\langle C,\ a \rangle</tex> <tex>\leftarrow</tex> '''pop''' '''from''' <tex>\mathtt{S}</tex>

'''if''' <tex> R_1 \ne \varnothing </tex> '''and''' <tex> R_2 \ne \varnothing </tex> replace <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex> with' <tex>R_1</tex> '''and''' <tex>R_2</tex> '''replaceif''' <tex>\langle R,\ c \rangle</tex> '''in''' <tex>\mathtt{PS}</tex> <font color=darkgreen>// смотрим, есть ли пара <tex>\langle R,\ c \rangle</tex> в очереди </font> remove <tex>\langle R, c \rangle</tex> '''withfrom''' <tex>\mathtt{S}</tex> <font color=darkgreen>// заменяем её на пары <tex>\langle R_1, c \rangle</tex>, <tex>\langle R_2, c \rangle</tex> если пара есть </font> push <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> '''andinto''' <tex>\mathtt{S}</tex> push <tex>\langle R_2, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex> '''forelse''' '''if''' <tex>c |\mathtt{P}[R_1]| \in leqslant |\Sigmamathtt{P}[R_2]| </tex> <font color=darkgreen>// вставляем любую иначе</font> push <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{pushSetsToQueueS}(S,</tex> '''else''' push <tex>\ R_1langle R_2,c \ R_2,rangle</tex> '''into''' <tex>\ c)mathtt{S}</tex>

'''function''' findEquivalenceClasses<tex>\mathtt{findEquivalenceClasses}(Q,\ F,\ \delta)</tex>:'''vector'''

'''push''' <tex>\langle F,\ c \rangle</tex>, <tex>\langle Q \setminus F,\ c \rangle</tex> '''into''' <tex> \mathtt{S}</tex>

<tex>\langle C,\ a \rangle</tex> <tex>\leftarrow</tex> '''pop''' '''from''' <tex>\mathtt{S}</tex>

<tex>T' \leftarrow \{R \ | \ R \in \mathtt{P}, \ R \cap \mathtt{Inverse} \neq \varnothing\}</tex> <font color=darkgreen>// находим классы, из состояний которых есть ребро в состояния сплиттера </font> '''for''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>T'</tex> <font color=darkgreen>// перебираем только классы входящие в <tex>T'</tex></font>

replace <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex> with <tex>R_1</tex> '''and''' <tex>R_2</tex> '''replaceif''' <tex>\langle R,\ c \rangle</tex> '''in''' <tex>\mathtt{PS}</tex> remove <tex>\langle R, c \rangle</tex> '''withfrom''' <tex>\mathtt{S}</tex> push <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> '''andinto''' <tex>\mathtt{S}</tex> push <tex>\langle R_2, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex> '''forelse''' '''if''' <tex>c |\mathtt{P}[R_1]| \in leqslant |\Sigmamathtt{P}[R_2]| </tex> push <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{pushSetsToQueueS}(S,</tex> '''else''' push <tex>\ R_1langle R_2,c \ R_2,rangle</tex> '''into''' <tex>\ c)mathtt{S}</tex>

Каждая итерация цикла <tex> \mathrm{while} </tex> может быть выполнена за <tex> O(|Q| + |\mathtt{Inverse}|) \,</tex> для текущей пары <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>. Покажем, как можно достичь этой оценки.

Классы разбиения <tex>P</tex> будем поддерживать с помощью множеств на [[Хеш-таблица | хэш-таблицах]] (само же разбиение {{- --}} обычный вектор, индекс {{--- }} номер класса). Это позволит нам эффективно переносить состояния из одного класса в другой (за <tex>O(1)</tex>).

*<tex>\mathtt{Class}[r]</tex> {{---}} номер класса, которому принадлежит состояние <tex>r</tex>,*<tex>\mathtt{Queue}</tex> {{---}} очередь пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>, где <tex>C</tex> {{---}} номер класса (сплиттера)*<tex>\mathtt{InQueue}</tex> {{---}} двумерный массив булеанов, <tex>\mathtt{InQueue}[C][a] == </tex> ''true'', если <tex>\langle C,\ a \rangle</tex> находится в очереди <tex>\mathtt{Queue}</tex>*<tex>\mathtt{Inv}[r][a]</tex> {{---}} массив состояний, из которых есть ребра по символу <tex>a</tex> в состояние <tex>r</tex> (мы не меняем исходный автомат, потому может быть построен раз перед началом работы алгоритма).

Для обработки <tex>T'</tex> за <tex>O(|Q| + |\mathtt{Inverse}|)\,</tex> нам понадобится следующая структура:*<tex>\mathtt{Involved}</tex> {{---}} список из номеров классов, содержащихся во множестве <tex>T'</tex>;,*<tex>\mathtt{Count}</tex> {{---}} целочисленный массив, где <tex>\mathtt{Count}[i]</tex> хранит количество состояний из класса <tex>i</tex>, которые содержатся в <tex>\mathtt{Inverse}</tex>;,*<tex>\mathtt{Twin}</tex> {{---}} массив, хранящий в <tex>\mathtt{Twin}[i]</tex> номер нового класса, образовавшегося при разбиении класса <tex>i</tex>.

'''function''' findEquivalenceClasses<tex>\mathtt{findEquivalenceClasses}(Q,\ F,\ \delta)</tex>:'''vector'''

'''push''' <tex>\langle F,\ c \rangle</tex>, <tex>\langle Q \setminus F,\ c \rangle</tex> '''into''' <tex> \mathtt{Queue}</tex> <tex>\mathtt{InQueue}[F][c] \ \leftarrow \ </tex> ''true'' <tex>\mathtt{InQueue}[Q \setminus F][c] \ \leftarrow \ </tex> ''true''

<tex>\langle C,\ a \rangle</tex> <tex>\leftarrow</tex> '''pop''' '''from''' <tex>\mathtt{Queue}</tex>

'''insert''' <tex>i</tex> '''ininto''' <tex>\mathtt{Involved}</tex>

'''if''' <tex>\mathtt{Count}[i] <</tex> '''size of''' <tex>|\mathtt{P}[i]|</tex> '''insert''' <tex>\{\}</tex> '''into''' <tex>\mathtt{P}</tex> <font color=darkgreen> //Создадим создадим пустой класс в разбиении <tex>\mathtt{P}</tex></font> <tex>\mathtt{Twin}[i]} = </tex> '''size of''' <tex>|\mathtt{P}|</tex> <font color=darkgreen> //Запишем запишем в <tex>\mathtt{Twin[i]}</tex> индекс нового класса</font>

'''if''' <tex>j = \mathtt{Twin}[i] \neq 0</tex> '''removeif''' <tex>j \neq 0</tex> remove <tex>r</tex> '''from''' <tex>\mathtt{P}[i]</tex> '''add''' <tex>r</tex> '''to''' <tex>\mathtt{P}[\mathtt{Twin}[i]j]</tex> '''for''' <tex> j i \in \mathtt{Involved}</tex> <tex>j = \mathtt{Twin}[i]</tex> '''if''' <tex> \mathtt{Twin}[j] \neq 0 </tex> '''forif''' <tex>c |\in mathtt{P}[j]| > |\Sigmamathtt{P}[i]|</tex> <font color=darkgreen>// парный класс должен быть меньшего размера</font> <tex>\mathtt{pushSetsToQueueswap}(\mathtt{QueueP},\ j[i],\ \mathtt{TwinP}[j],)</tex> <font color=darkgreen>// swap за <tex>\ cmathtt{O(1)}</tex> {{---}} просто переставить указатели</font> '''for''' <tex>r \in \mathtt{CountP}[j] </tex> <font color= 0darkgreen> // обновляем номера классов для вершин, у которых они изменились</font> <tex>\mathtt{Class}[r] = j</tex> '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex> push <tex>\langle j, c \rangle</tex> '''to''' <tex>\mathtt{Queue}</tex> <tex>\mathtt{TwinCount}[ji] = 0</tex> <tex>\mathtt{InQueueTwin}[Ci][a] \ \leftarrow = 0</tex> ''false''

Осталось только реализовать Стоит отметить, что массивы <tex>\mathtt{pushSetsToQueueCount}</tex>. <tex>,\mathtt{pushSetsToQueue}(\mathtt{QueueTwin},\ R_1,\ R_2,\ c)</tex>:аллоцируются ровно один раз при инициализации алгоритма. <tex>cnt1 \leftarrow </tex> '''size of''' <tex>\mathtt{P}[R_1]</tex> <tex>cnt2 \leftarrow <Также стоит отметить, что собственно наличие/tex> '''size of''' отсутствие пары в очереди можно не проверять. Если для некоторого <tex>\mathtt{P}[R_2]</tex> '''if''' <tex> \mathtt{InQueue}[R_1][c] == </tex> ''false'' '''and''' <tex> cnt1 \leqslant cnt2 </tex> '''push''' пара <tex>\langle R_1i, c \rangle</tex> '''to''' уже была в очереди, то мы добавим её "вторую половинку" <tex>\mathtt{Queue}</tex> <tex>langle \mathtt{InQueueTwin}[R_1i][c] \ \leftarrow \ </tex> ''true'' '''else''' '''push''' <tex>\langle R_2, c \rangle</tex> '''to''' . Если её в очереди не было, то мы вольны сами выбирать, какой подкласс добавлять в очередь, и таким образом добавляем опять же <tex>\mathtt{Queue}</tex> <tex>langle \mathtt{InQueueTwin}[R_2i][, c] \ \leftarrow \ rangle</tex> ''true''.Кроме того, вместо очереди можно использовать вообще произвольную структуру, хранящую элементы, в том числе стэк, множество, так как порядок извлечения нам по сути не важен.

Пусть <tex>x, y \in Q</tex>, <tex>a \in \Sigma</tex> и <tex> \delta(x, a) = y</tex>. Зафиксируем эту тройку. Заметим, что количество раз, которое <tex>x</tex> встречается в <tex>\mathtt{Inverse}\,</tex> при условии, что <tex> \delta(x, a) = y</tex>, совпадает с числом удаленных из очереди пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>, где <tex>y \in C</tex>. Но по [[#Лемма3 | лемме(3)]] эта величина не превосходит <tex>\log_2(|Q|)</tex>. Просуммировав по всем <tex> x \in Q </tex> и по всем <tex> a \in \Sigma</tex> мы получим утверждение леммы.

*Операции с множеством <tex>T'</tex> и разбиение классов на подклассы требуют <tex>O(\sum(|\mathtt{Inverse}|))\,</tex> времени. Но по [[#Лемма4 | лемме(4)]] <tex>\sum(|\mathtt{Inverse}|)\,</tex> не превосходит <tex>|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|)</tex>, то есть данная часть алгоритма выполняется за <tex>O(|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|))</tex>.

=== Альтернативная реализация ===

Заметим, что вообще нам не важен порядок доставания элементов из "очереди", потому вместо очереди Все классы разбиения будем по-прежнему хранить в векторе хэш-сетов <tex>\mathtt{QueueP}</tex> и массива <tex>\mathtt{InQueue}</tex> можно обойтись одним множеством пар (оставим название <tex>\mathtt{Queue}</tex>).

*<tex>\mathtt{Class}[r]</tex> {{---}} номер индекс классав <tex>\mathtt{P}</tex>, которому принадлежит состояние <tex>r</tex>,*<tex>\mathtt{Queue}</tex> {{---}} множество очередь из пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>,*<tex>\mathtt{Inv}[r][a]</tex> {{---}} массив состояний, из которых есть ребра по символу <tex>a</tex> в состояние <tex>r</tex> (мы не меняем исходный автомат, потому может быть построен раз перед началом работы алгоритма),*<tex>\mathtt{Involved}</tex> {{---}} хэш-таблица ассоциативный массив из номеров классов в векторы из номеров вершин.

'''insert''' <tex>\langle F,\ c \rangle</tex>, <tex>\langle Q \setminus F,\ c \rangle</tex> '''into''' <tex> \mathtt{Queue}</tex>

<tex>\langle C,\ a \rangle</tex> <tex>\leftarrow</tex> pop '''take any from''' <tex>\mathtt{Queue}</tex> //Взять любую пару из <tex>\mathtt{Queue}</tex>, не удаляя (!) <tex>\mathtt{Involved} = \leftarrow {\varnothing}</tex>

<tex>\mathtt{Involved}[i] = \{\}</tex> '''add''' <tex>r</tex> '''to''' <tex>\mathtt{Involved}[i]</tex> '''for''' <tex> i \in \mathtt{Involved}</tex> <font color=darkgreen> //Перебираем ключи <tex>\mathtt{Involved}</tex></font> '''if''' '''size of''' <tex>|\mathtt{Involved}[i] | <</tex> '''size of''' <tex>|\mathtt{P}[i]|</tex> '''insert''' <tex>\{\}</tex> '''into''' <tex>\mathtt{P}</tex> <font color=darkgreen> //Создадим пустой класс в разбиении <tex>\mathtt{P}</tex></font> <tex>j = </tex> '''size of''' <tex>|\mathtt{P}|</tex> <font color=darkgreen> //Запишем в <tex>j</tex> индекс нового класса</font>

remove <tex>r</tex> '''removefrom''' <tex>\mathtt{P}[i]</tex> add <tex>r</tex> '''fromto''' <tex>\mathtt{P}[ij]</tex> '''addif''' <tex>r|\mathtt{P}[j]| > |\mathtt{P}[i]|</tex> <font color=darkgreen>//Парный класс должен быть меньшего размера</font> <tex>\mathtt{swap}(\mathtt{P}[i],\ \mathtt{P}[j])</tex> <font color=darkgreen>//swap за <tex>\mathtt{O(1)}</tex> {{---}} просто переставить указатели</font> '''tofor''' <tex>r \in \mathtt{P}[j]</tex> <font color=darkgreen>//Обновляем номера классов для вершин, у которых они изменились</font> <tex>\mathtt{Class}[r] = j</tex>

push <tex>\mathtt{pushSetsToQueue}(\mathtt{Queue},\ i,\ langle j,\ c)</tex> '''remove''' <tex>\langle C,\ a \rangle</tex> '''frominto''' <tex> \mathtt{Queue}</tex>