19
правок
Изменения
Нет описания правки
== Диаметр дерева ==
{{Определение|id = tree|definition ='''Диаметр дерева''' (''diameter of a tree'') — максимальная длина (в рёбрах) кратчайшего пути в дереве между любыми двумя вершинами.}}
Пусть дан граф <tex>G = \langle V, E \rangle </tex>. Тогда диаметром <tex>d</tex> называется <tex>\max\limits_{u, v \in V} dist(v, u)</tex>, где <tex>dist</tex> — кратчайшее расстояние между вершинами.
* Возьмём любую вершину <tex> v \in V </tex> и найдём расстояния до всех других вершин. <tex>d[i] = \min\limits_{u, i \in V} dist(u, i)</tex>
* Возьмём вершину <tex> u \in V </tex> такую, что <tex>d[u] \ge geqslant d[t]</tex> для любого <tex>t</tex>. Снова найдём расстояние от <tex>u</tex> до всех остальных вершин. Самое большое расстояние — диаметр дерева.
Расстояние до остальных вершин будем искать [[Обход_в_ширину|алгоритмом <tex>BFS</tex>]].
=== Реализация ===
'''int''' diameterTree(graph <node> g) //''тип node содержит поле number, в котором хранится номер вершины в графе'' v = u = w = 0; d = bfs(g, v); '''for''' i = 0; , i < n; , i++
'''if''' d[i] > d[u]
u = i; bfs(g, u); '''for''' i = 0; , i < n; , i++
'''if''' d[i] > d[w]
w = i; '''return''' d[w];
=== Обоснование корректности ===
Таким образом мы доказали, что нам нужно взять вершину <tex>u</tex> с наибольшей глубиной после первого <tex>BFS</tex>, очевидно, что ей в пару надо сопоставить вершину <tex>w</tex>, такую что <tex>dist(u, w)</tex> максимально. Вершину <tex>w</tex> можно найти запуском <tex>BFS</tex> из <tex>u</tex>.
=== Оценка производительности времени работы ===
Все операции кроме <tex>BFS</tex> — <tex>O(1)</tex>.
<tex>BFS</tex> работает за линейное время, запускаем мы его два раза. Получаем <tex>O(|V | + |E|)</tex>.
== Центр дерева ==
|id = tree
|definition =
'''Эксцентриситет вершины <tex>e(v)</tex>''' (''eccentricity of a vertex'') — <tex>\max\limits_{u, v \in V} dist(v, u)</tex>, где <tex>V</tex> — множество вершин связного графа <tex>G</tex>.
}}
{{Определение
|id = tree
|definition =
'''Радиус <tex>r(G)</tex>''' (''radius'') — наименьший из эксцентриситетов вершин графа <tex>G</tex>.
}}
{{Определение
|id = tree
|definition =
'''Центральная вершина''' (''central vertex'') — вершина графа <tex>G</tex>, такая что <tex>e(v) = r(G)</tex>
}}
{{Определение
|id = tree
|definition =
'''Центр графа <tex>G</tex>''' (''center of a graph'') — множество всех центральных вершин графа <tex>G</tex>.
}}
[[Файл:Центральные_вершины.png|300px|thumb|left|Примеры деревьев с одной и двумя центральными вершинами]]
* [[wikipedia:Distance_(graph_theory)|Wikipedia {{---}} Distance (graph theory)]]
* ''Ф. Харари'': Теория графов
* [http://rain.ifmo.ru/cat/data/theory/graph-location/centers-2006/article.pdf''А. Клебанов'': Центры графов]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]
