17
правок
Изменения
Нет описания правки
=== Описание алгоритма ===
Алгоритм находит [[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|Эйлеров цикл]] как в [[Ориентированный граф|ориентированном]], так и в [[Основные определения теории графов#Неориентированные графы|неориентированном графе]]. Перед запуском алгоритма необходимо [[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|проверить граф на эйлеровость]]. Чтобы построить [[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|Эйлеров путь]], нужно запустить алгоритм из вершины с нечетной степенью.<br>
Алгоритм напоминает поиск в глубину. Главное отличие состоит в том, что пройденными помечаются не вершины, а ребра графа. Начиная со стартовой вершины <tex>v</tex> строим путь, добавляя на каждом шаге не пройденное еще ребро, смежное с текущей вершиной. Вершины пути накапливаются в [[Стек | стеке]] <tex>S</tex>. Когда наступает такой момент, что для текущей вершины <tex>w</tex> все инцидентные ей ребра уже пройдены, записываем вершины из <tex>S</tex> в ответ, пока не встретим вершину, которой инцидентны не пройденные еще ребра. Далее продолжаем обход по не посещенным ребрам.
=== Псевдокод ===
<font size=2>
'''Код проверки графа на эйлеровость:'''
</font>
=== Доказательство корректности ==={{Теорема|id=proof11|statement=Данный алгоритм находит корректный эйлеров путь. |proof=Данный алгоритм проходит по каждому ребру, причем ровно один раз. Допустим, что в момент окончания работы алгоритма имеются еще не пройденные ребра. Поскольку граф связен, должно существовать хотя бы одно непройденное ребро, инцидентное посещенной вершине. Но тогда эта вершина не могла быть удалена из <tex>S</tex>, и <tex>S</tex> не мог стать пустым.<br> Так как после прохода по ребру оно удаляется, то пройти по нему дважды алгоритм не может. <br>2. Напечатанный путь <tex>P</tex> {{---}} корректный маршрутв графе, содержащий все в котором каждые два ребра графа, при этом не содержит ребра, не лежащие на пути графаподряд инцидентны одной вершине. Будем говорить, что ребро <tex>(w,u)</tex> представлено в <tex>S</tex> или <tex>P</tex>, если в какой-то момент работы алгоритма вершины <tex>w</tex> и <tex>u</tex> находятся рядом. Каждое ребро графа представлено в <tex>S</tex>. Рассмотрим случай, когда из <tex>S</tex> в <tex>P</tex> перемещена вершина <tex>w</tex>, а следующей в <tex>S</tex> лежит <tex>u</tex>. Возможны 2 варианта:
#На следующем шаге <tex>u</tex> перемещена в <tex>P</tex>. Тогда <tex>(w,u)</tex> представлено в <tex>P</tex>.
#Сначала будет пройдена некоторая последовательность ребер, начинающаяся в вершине <tex>u</tex>. Ввиду четности степеней эта последовательность может закончиться только в вершине <tex>u</tex>, а значит она следующей попадет в <tex>P</tex> и <tex>(w,u)</tex> будет представлено в <tex>P</tex>.
<font size=2>
'''function''' findEulerPath(<tex>v</tex> : Vertex):
print(<tex>v</tex>)
</font>
=== Время работы ===
Если реализовать поиск ребер инцидентных вершине и удаление ребер за <tex>O(1)</tex>, то алгоритм будет работать за <tex>O(E)</tex>.<br>
Чтобы реализовать поиск за <tex>O(1)</tex>, для хранения графа следует использовать списки смежных вершин; для удаления достаточно добавить всем ребрам свойство <tex>\mathtt{deleted}</tex> бинарного типа.
