Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Циклическое пространство графа

2961 байт добавлено, 22:08, 20 октября 2016
Нет описания правки
Существует несколько определений циклического пространства __TOC__== Циклическое пространство графа==Пусть <tex> m = |E(G)| </tex>, <tex> n = |V(G)| </tex>, <tex> k </tex> {{---}} количество компонент связности <tex> G </tex>. <tex> B^t </tex> {{---}} линейное пространство, элементами которого являются <tex> t </tex>-мерные двоичные вектора и их сложение определено, как сложение по модулю <tex> 2 </tex>.
== Определение 1 ==
{{Определение
|definition =
'''Циклическое пространство графа''' — семейство множеств реберно непересекающихся циклов(англ. ''cyclic graph space'') {{---}} <tex> C = \operatorname { P | P \subset C_0Ker}(I) </tex>, \forall a, b \in P \ a \ne b где <tex> I : a B^m \cup b = \emptyset \} rightarrow B^n </tex>{{---}} линейный оператор, где сопоставленный матрице инцидентности <mathtex>C_0A </mathtex> — множество всех циклов графа<tex> G </tex>.
}}
 
== Определение 2 ==
{{Определение
|definition =
'''0-цепь''' — линейная комбинация <tex>\Sigma a_{i}v_{i}</tex> где <tex>a_{i} \in F_2, v_{i} \in VОбобщенный цикл графа </tex>, где <tex> VG </tex> — множество вершин графа.}}{{Определение|definition ='''1-цепь''' — линейная комбинация <tex>\Sigma a_{i}e_{i}</tex> где <tex>a_{i} \in F_2, e_{i} \in E</tex>, где Е — множество ребер графа(англ.}}{{Определение|definition ='''Граничный оператор <tex>\delta</tex>'generalized graph cycle'' — линейный оператор,сопоставляющий 1-цепи 0-цепь таким образом, что если e = (u, v) то <tex>\delta e = u + v</tex>. Сложение производится по модулю два. Результат действия граничного оператора на 1-цепь называется границей 1-цепи. Таким образом, границей 1-цепи является сумма вершин инциндентных нечетному числу ребер из 1-цепи.}}{{Определение|definition = '''Циклический вектор''' — 1-цепь с границей 0.}}{{|definition = '''Циклическое пространство графа''' — пространство образованное множеством всех циклических векторов над полем <tex>F_2</tex> = {0,1}.}}== Эквивалентность определений =={{Теорема|statement = Определения 1 и 2 эквивалентны.|proof = * <tex>1 \rightarrow 2</tex>Рассмотрим множество <tex> Z </tex> реберно непересекающихся циклов. 1-цепь <tex>\sigma</tex> состоящая из всех ребер из <tex>Z</tex>.имеет границу 0, так как для любого ребра <tex>e_{i} = (u_{i}, v_{i})\in Z \ u_{i}, v_{i}</tex> встречаются в <tex>\delta\sigma </tex> четное число раз.* <tex>2 \rightarrow 1</tex>Рассмотрим 1-цепь <tex>\sigma</tex>. Из того, что граница <tex>\sigma</tex> равна 0 следует, что для любого <tex>e = (u, v) \in \sigma </tex> u и v встречаются в <tex>\delta \sigma </tex> четное число раз. Значит <math>\sigma</math> можно разбить на дизъюнктные подмножества <tex>E_1,..., E_{i},</tex> такие, что путь состоящий из <tex>u_1, e_1, v_1,...,u_{k}, e_{k}, v_{k}элемент линейного пространства </tex>, где <tex>e_{k} =(u_{k}, v_{k}) \in E_{i}C </tex> является циклом. Так как каждое ребро графа встречается не более одного раза, значит эти циклы будут реберно непересекающимися.
}}
== Свойства =={{Теорема|statement =Циклическое пространство графа линейно.|proof =В циклическом пространстве графа задано сложение по модулю два.Нейтральным элементом относительно сложения является пустой граф.Любой элемент циклического пространства сам себе противоположен.Отсюда выполнение восьми условий линейности очевидно.}}
{{Лемма
|id = lemma1|statement =Степени всех вершин всех Пространство <tex> C </tex> изоморфно <tex> T </tex>, где <tex> T </tex>{{---}} пространство, элементами которого являются наборы [[Основные_определения_теории_графов#def_graph_edge_1 | ребер]], из которых можно составить несколько простых реберно непересекающихся [[Основные_определения_теории_графов#def_graph_cycle_1 | циклов циклического пространства четны]].|proof =Рассмотрим циклический вектор <tex>x \in C </tex>.  Рассмотрим граф <tex> G_1(V_1,E_1) </tex>, где <tex> E_1 </tex> {{---}} множество ребер, таких, что на соответствующих местах вектора <tex> x </tex> стоят единицы, а <tex> V_1 = V(G) </tex> . В силу определения обобщенного цикла: <tex> \forall v : v \in V_1 ~ deg(v) \equiv 0\mod~2 </tex>. Покажем по индукции, что <tex> G </tex> можно декомпозировать на несколько реберно непересекающихся простых циклов. Ведем индукцию по числу ребер.База индукции <tex> |E_1(G)|=0 </tex> очевидно выполняется. Рассмотрим <tex> G_1 </tex>. <tex> \forall v : v \in V_1 ~ deg(v) \sigmaequiv 0\mod~2 \Rightarrow |E_1(G)| > |V(G)| - 1 \Rightarrow </tex> существует цикл, добавим его в декомпозицию, удалим ребра, принадлежащие ему. В силу того, что четность степеней вершин не изменилась, по предположению индукции декомпозируем оставшийся граф. Отсюда следует, что каждому обобщенному циклу соответствуют ребра, которые образуют набор реберно непересекающихся простых циклов.  Если рассмотреть набор реберно непересекающихся простых циклов некоторого графа <tex>G</tex> и взять все ребра, принадлежащие этим циклам, то им можно сопоставить обобщенный цикл, поставив <tex> 1 </tex> в соответствующие места <tex> x </tex>, во все остальные <tex> 0 </tex>.  {{Утверждение|statement = Если степень какой<tex>\textbf{C}</tex> {{---}} обобщенный цикл, соответствующий простому циклу <tex>C'</tex> графа <tex>G</tex>, то вершины нечетна <tex>I(\textbf{C}) = 0</tex>|proof=Пусть <tex>\textbf{C}</tex> {{---}} обобщенный цикл из условия, а <tex>C'</tex> {{---}} соответствующий ему простой цикл. Тогда <tex>I(\textbf{C}) = \bigoplus\limits_{e \in C'}c(e)</tex>, где <tex>c(e)</tex>{{---}} столбец в [[Матрица_инцидентности_графа | матрице инцидентности графа]] <tex>G</tex>, соответствующий ребру <tex>e</tex>. Так как каждая вершина в <tex>C'</tex> имеет степень <tex> 2 </tex>, то в для любого <tex>i \in \overline{0, |VG| - 1}</tex> верно <tex>|\{e \delta in C': c(e)_i = 1\sigma}| = 2</tex> она входит нечетное число раз, а значит <tex>I(\textbf{C})_i = 1 \delta oplus 1 = 0</tex>. Таким образом <tex>I(\sigmatextbf{C}) = 0</tex>. }} В силу линейности оператора <tex> I </tex> не равно и того, что <tex>I( </tex> простой цикл <tex> )=0</tex>, получаем что противоречит определению циклического вектора.<tex> Ix=0 </tex>
}}
 
== Размерность линейного пространства обобщенных циклов ==
{{Теорема
|statement =Размерность циклического пространства равна <tex> \operatorname {dim}(C) = m - n + k</tex>|proof=<tex> \operatorname {dim}(C)=\operatorname {dim}(\operatorname {Ker}(I))=m-\operatorname {Rang}(A) </tex>, где m <tex> \operatorname {Rang}(A) </tex> {{--- число }} максимальное количество ЛНЗ столбцов <tex> A </tex>. Если рассмотреть простой цикл <tex>C</tex> в <tex> G </tex>, то сумма столбцов соответствующих этим ребрам равна <tex>0</tex>, т. к. значение оператора <tex>I</tex> на соответствующем обобщенном цикле в точности равно сумме этих столбцов. Значит, эти столбцы ЛЗ. Отсюда следует, что если любому множеству ребер графа, n - число вершинсодержащих цикл, в соответствие сопоставить набор столбцов из <tex> A </tex>, то он будет ЛЗ {{Утверждение|statement=Если подмножество ребер из <tex>G</tex> не содержит цикл, k - число компонент связностито набор соответствующих столбцов из <tex>A</tex> ЛНЗ.|proof =Из теоремы о томПусть он ЛЗ, значит существует равная нулю линейная комбинация столбцов, где не все коэффициенты равны нулю. Возьмем столбцы, коэффициенты при которых не нулевые, что тогда их линейная комбинация образует <tex>x \in C</tex>, а значит соответствующие столбцам ребра разбиваются на простые циклы и исходное множество [[Фундаментальные циклы графа|фундаментальных циклов]] относительно любого каркаса T графа G образует базис циклического пространства ребер содержало цикл. Противоречие. }} Максимальное число ребер, которые мы можем выделить из G следует что размерность циклического пространства равна числу ребер и которые не входящих в каркас. Каркас содержит содержат цикл равно <tex> n - k ребер, значит размерность циклического пространства равна </tex> (в каждой компоненте связности выделим остовное дерево). Итого: <tex> \operatorname {dim}(C)=m - n + k.</tex>
}}
 == Литература Применение ==Циклическое пространство графа позволяет доказать некоторые теоремы из теории графов, а также описать условия существования отдельных подвидов графа. В частности, благодаря введенному понятию, можно доказать необходимое и достаточное условие планарности графа<ref>[http://logic.pdmi.ras.ru/~dvk/211/graphs_dk.pdf Карпов В.Д. Теория графов - с.281 - Применения циклического пространства графа]</ref>. == См. также ==*[[Линейный_оператор|Линейный оператор]] *[[Ядро_и_образ_линейного_оператора|Ядро и образ линейного оператора]] == Примечания ==<references/> == Источники информации ==*Харари Ф. Теория графов / пер. с англ. — изд. 4-е — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. — с.54. — ISBN 978-5-397-00622-4 *Карпов В.Д. Теория графов - с.281 [[Категория: Алгоритмы и структуры данных]][[Категория: Основные определения теории графов]]
Анонимный участник

Навигация