Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Статистики на отрезках. Корневая эвристика

1910 байт добавлено, 11:19, 10 мая 2015
м
Запрос на изменение элемента
'''Корневая эвристика (Sqrt-декомпозиция)''' {{---}} это метод, или структура данных, которая позволяет выполнять ассоциативные операции над отрезками подход к реализации ассоциативных операций (например, суммирование элементов, нахождение минимума/максимума и т.д.) над идущими подряд элементами некоторого множества размера <tex>n</tex> за <tex> O(\sqrt n)</tex>.
== Построение ==
Пусть нам дан массив <tex>A</tex> размерности <tex>n</tex>. Cделаем следующие действия:* разделим массив <tex>A</tex> на блоки длины <tex>len = \lfloor \sqrt{n} \rfloor</tex> ; , * в каждом блоке заранее посчитаем необходимую нам операцию;,* результаты подсчета запишем в массив <tex>B</tex> размерности <tex>cnt</tex>, где <tex>cnt = \left\lceil \fracdfrac{n}{len} \right\rceil</tex> {{---}} количество блоков.
[[Файл:sqrt.png|358px]]
Пример реализации построения массива <tex>B</tex> для операции <tex> \circ </tex>:
<code>
'''void''' build():
'''for''' i = 0 ... cnt
B[i] = neutral <font color=green>// neutral {{-- -}} нейтральный элемент для операции <tex> \circ </tex> </font>
'''for''' i = 0 ... n - 1
B[i / len] = B[i / len] <tex> \circ </tex> A[i]
== Обработка запроса ==
Пусть мы получили получен запрос на выполнение операции на отрезке <tex>[l, r]</tex>. Отрезок может охватить некоторые блоки массива <tex>B</tex> полностью, а так же не более двух блоков (начальный и конечный) {{---}} не полностью.
Таким образом, для того чтобы найти результат операции на отрезке <tex>[l, r]</tex> нам необходимо вручную выполнить ее на "хвостах", а потом выполнить ее для полученного результата и полных блоков, значения которых мы посчитали заранее.
[[Файл:sqrt(sum).png|358px]]
Пример реализации обработки запроса:
<tex> \circ </tex> {{- --}} операция, для которой было сделано построение.
<code>
'''T''' query('''int''' l, '''int''' r):
left = l / len
right = r / len
end = (left + 1) * len - 1
res = neutral <font color=green> //neutral {{- --}} нейтральный элемент для операции <tex> \circ </tex> </font>
'''if''' left == right
'''for''' i = l ... r
Размер каждого из "хвостов", очевидно, не превосходит длины блока <tex>len</tex>, а количество блоков не превосходит <tex>cnt</tex>. Поскольку и <tex>len</tex> было выбрано равным <tex>\lfloor \sqrt{n} \rfloor</tex>, и а <tex>cnt</tex> мы выбирали было выбрано равным <tex>~ ~ \approx left\sqrtlceil \dfrac{n}{len} \right\rceil</tex>, то для выполнения операции на отрезке <tex>[l, r]</tex> нам понадобится <tex>O(\sqrt{n})</tex> времени.
== Запрос на изменение элемента ==
Реализация данного запроса будет зависеть от того, имеет ли операция, для которой мы сделали сделано построение, обратную операцию и обладает ли она свойством коммутативности.* если оба условия выполняются, то запрос на изменение элемента мы можем можно сделать за <tex>O(1)</tex> времени;,
* если хотя бы одно из условий не выполняется, то запрос на изменение элемента можно сделать за <tex>O(\sqrt{n})</tex> времени.
Примеры реализации:
* <tex>p</tex> {{---}} номер элемента из массива <tex>A</tex>, который необходимо заменить; , * <tex>\mathtt{newValue}</tex> {{---}} новое значение для данного элемента. <tex> \circ </tex> {{---}} операция, для которой было сделано построение.
Запрос на изменение элемента для операции, у которой есть обратная операция, и выполняется свойство коммутативности:
<code>
'''function''' set('''int''' p, '''T''' newValue): tmp = B[p / len] <tex> \circ </tex> inverse(A[p]) <font color=green>// inverse(A[p]) {{--- }} обратный элемент</font>
A[p] = newValue
B[p / len] = tmp <tex> \circ </tex> newValue
</code>
 
'''Замечание:''' важность наличия свойства коммутативности подчеркивает следующий контрпример. Известно, что умножение матриц не коммутативно. Возьмем блок <tex> b_0 </tex>, как показано на иллюстрации выше, со следующими значениями:
 
<tex> b_0 = \begin{pmatrix} 27 & 32 \\ 42 & 50 \end{pmatrix} </tex> ,
 
<tex> a_0 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} </tex> ,
 
<tex> a_1 = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} </tex> ,
 
<tex> a_2 = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} </tex>.
 
Пусть необходимо изменить значение матрицы <tex> a_1 </tex> на следующее:
 
<tex> \mathtt{newValue} = a_1 = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} </tex>.
 
Тогда значения <tex> a_1^{-1} </tex>, <tex> tmp </tex> и новое значение <tex> a_1 </tex> таковы :
 
<tex> a_1^{-1} = \begin{pmatrix} 1,5 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} </tex>,
 
<tex> tmp = b \cdot a_1^{-1} = \begin{pmatrix} 8,5 & 5 \\ 13 & 8 \end{pmatrix} </tex> ,
 
<tex> a_1 = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} </tex>.
 
Тогда новое значение <tex> b_0 </tex> следующее:
 
<tex> b_0 = \begin{pmatrix} 54 & 59 \\ 84 & 92 \end{pmatrix} </tex>.
 
Хотя правильный результат: <tex> b_0 = \begin{pmatrix} 51 & 60 \\ 78 & 92 \end{pmatrix} </tex>.
Запрос на изменение элемента для операции, у которой хотя бы одно из условий не выполняется:
<code>
'''function''' set('''int''' p, '''T''' newValue):
index = len * (p / len)
A[p] = newValue
B[p / len] = neutral <font color = green> // neutral {{-- -}} нейтральный элемент для операции <tex> \circ </tex> </font>
'''for''' i = index ... index + len - 1
B[p / len] = B[p / len] <tex> \circ </tex> A[i]
</code>
 
==См. также==
* [[Дерево отрезков. Построение]]
* [[Многомерное дерево отрезков]]
==Источники информации==
* [http://www.e-maxx.ru/algo/sqrt_decomposition Maximal:: algo:: Sqrt - декомпозиция]
* [http://habrahabr.ru/post/138946/#habracut Sqrt-декомпозиция (корневая оптимизация)]
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Дерево отрезков]]

Навигация